Algebra Boleana

PROBLEMA: En la familia lógica de circuitos conocida como TTL (Transistor Transistor Logic, véase el Suplemento # 1 para mayores detalles) el bloque fundamental es la función NAND. Obtener usando esta función como punto de partida las tres funciones lógicas básicas NOT, OR y AND.
Al igual que en el problema anterior, conectando todas las terminales de entrada de un NAND entre sí se puedeobtener la función NOT:

NOT
Invirtiendo la salida de un NAND con un NOT así obtenido se puede lograr fácilmente la función AND:


AND
Por último, para obtener la función OR usando bloques NAND hay que relacionarla de alguna manera con el producto Boleano propio de la función NAND usando para ello una de las relaciones de DeMorgan. Buscamos dicha relación trabajando "a la inversa" (llevando acabo pasos opuestos a los que normalmente tomaríamos para simplificar una expresión):


Vemos que basta invertir las entradas de un NAND para que este se convertierta en un OR. Por lo tanto, el circuito deseado es el siguiente:

OR
Puesto que, a partir de bloques NAND exclusivamente, podemos recuperar las tres funciones lógicas básicas, también al bloque NAND se le conoce también como unafunción universal.


PROBLEMA: Determinar si es más económico construír el siguiente circuito con bloques NOR o con bloques NAND. Usar los resultados de los dos problemas anteriores.



Este problema es representativo de una situación que ocurre frecuentemente en la práctica. En las familias de componente electrónicos utilizados para construír circuitos lógicos, es muy rara la ocasión (como lo esel caso de los relevadores electromecánicos) en la cual por la naturaleza propia del funcionamiento intrínseco de la familia los componente más sencillos no son el AND y el OR sino el NAND o el NOR, existiendo frecuentemente la opción de poder seleccionar entre estos dos últimos para construír un circuito lógico. Y también, con mucha frecuencia, habrá una diferencia en la cantidad de componentesrequeridos al usar el bloque NOR y al usar el bloque NAND, lo cual puede constituírse en una razón para preferir un tipo de bloque sobre el otro. Y la razón principal no es ya tanto el factor costo, ya que el lograr que un diseño utilice 14 componentes en lugar de 16 no representa ya en estos tiempos un ahorro substancial de dinero; la razón principal es hoy la velocidad máxima bajo la cual puedefuncionar un circuito lógico, entre menor sea la cantidad de componentes utilizados, menor será el tiempo que tarda una señal en llegar de un punto a otro dentro del circuito.

Comenzaremos el rediseño utilizando primero bloques NAND. Para ello, simplificaremos la representación del inversor NOT construído mediante un bloque NAND con sus dos entradas conectadas a un mismo punto. Larepresentación esquemática es la siguiente:


Es importante tener siempre en mente que el bloque de la derecha no es un NAND de una sola entrada, todo NAND debe tener por lo menos dos entradas; se trata de un NAND que está actuando como un inversor lógico NOT por tener sus dos entradas conectadas a un mismo punto. Esto permite dar mayor claridad a los diagramas y es una práctica justificada en el trazado delos diagramas esquemáticos.
Usando únicamente bloques NAND y los resultados de uno de los problemas anteriores, el circuito toma el siguiente aspecto:


Del diagrama, podemos ver que el circuito se puede simplificar. Puesto que dos NOTs conectados en serie no alteran la señal a su entrada (debido a que el inverso del inverso de una variable Boleana es igual a la variable misma, o sea (A')' =A), estos se pueden reemplazar por una sola línea directa. Se han destacado dos de ellos de color rosa. Hay otros dos que se pueden eliminar en la parte inferior. De este modo, el circuito toma el siguiente aspecto:


Vemos que la construcción del circuito con bloques NAND requiere un mínimo de 5 bloques NAND.
Procedemos ahora a construír el circuito utilizando para ello bloques NOR. Así...