algebra boleana

4. ALGEBRA BOOLEANA
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y
uno (falso y
verdadero). Un operador binario “ o “ definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y
produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas
booleanas y
produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraicoexisten una serie
de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y
otras propiedades
del sistema.
4.1 Teoremas y
postulados.
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Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si
para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario “ o “es conmutativo si A o B = B o A para
todos los posibles valores de A y
B.
Asociativo. Se dice qu un operador binario “ o “ es asociativo si (A o B) o C = A o (B o C)
para todos los valores booleanos A, B, y
C.
Distributivo. Dos operadores binarios “ o “ y
“ % “ son distributivos si A o (B % C) = (A o
B) % (A o C) para todos los valores booleanos A, B, y
C.
Identidad. Un valor booleanoI se dice que es un elemento de identidad con respecto a un
operador binario “ o “ si A o I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “
o “ si A o I = B, y
B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y
valores: - Los dos posiblesvalores en el sistema booleano son cero y
uno, a menudo llamaremos a
éstos valores respectivamente como falso y
verdadero. El símbolo · representa la operación lógica
AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo
tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y
B, a esto también le llamamos
el producto entre A y
B. - Elsímbolo “+” representa la operación lógica OR, decimos que A + B es
la operación lógica OR entre A y
B, también llamada la suma de A y
B. El complemento lógico,
negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo “ ¬ “ para denotar la
negación lógica, por ejemplo, ¬ A denota la operación lógica NOT de A.
Si varios operadores diferentes aparecen en una solaexpresión booleana, el resultado de la
expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de may
or a menor, paréntesis,
operador lógico NOT, operador lógico AND y
operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND
como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están
ady
acentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógicoNOT es asociativo por
la derecha. Utilizaremos además los siguientes postulados:
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P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y
NOT
P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y
con respecto a + es cero. No existe
elemento de identidad para el operador NOT
P3 Los operadores * y
+ son conmutativos.
P4 * y
+ son distributivos unocon respecto al otro, esto es, A*(B+C) = (A*B)+(A*C) y
A+
(B*C)
= (A+B)*(A+C).
P5 Para cada valor A existe un valor ¬A tal que A*¬A = 0 y
A+¬A = 1. Éste valor es el
complemento lógico de A.
P6 * y
+ son ambos asociativos, esto es, (AB)C = A(BC) y
(A+B)+C = A+(B+C).

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es
buena ideafamiliarizarse con algunos de los teoremas más importantes los circuitos digitales
trabajan con números, y
que estos números se expresan en binario. Veremos más adelante cómo con
un conjunto de ecuaciones podemos describir lo que hace un circuito, que transforma los números
de la entrada y
por otros que obtenemos en la salida. Sin embargo, puesto que estos números vienen
expresados en binario,...