Algebra Boleana

3.2.1 Teoremas y Postulados
Los postulados de un sistema matemático forman las suposiciones de las cuales se deducen las reglas, teorías y propiedades del mismo. Los postulados más comúnmente usados para formular varias estructuras algebraicas son:
1. Conjunto cerrado. Un conjunto S es cerrado con respecto a un operador binario, si para cada par de elementos de S, el operador binario especificauna regla para obtener un elemento único de S.
2. Ley asociativa. Se dice que un operador binario * en un conjunto S es asociativo si:

3. Ley conmutativa. Se dice que un operador binario * en un conjunto S es conmutativo si:

4. Elemento de identidad. Se dice que un conjunto S tiene un elemento de identidad con respecto a la operación binaria * en S si existe un elemento e € S con la propiedad:5. Inverso. Se dice que un conjunto S, que tiene un elemento de identidad e con respecto a un operador binario *, tiene un inverso si para cada x € S existe un elemento y € S tal que:
x * y = e
6. Ley distributiva. Si * y . son dos operadores binarios en un conjunto S, se dice que * es distributivo con respecto a . si:

La prioridad del operador para la evaluación de las expresiones de Boole es:(1) él paréntesis,
(2) NOT, 
(3) AND y 
(4) OR.
En otras palabras las expresiones dentro de un paréntesis deben ser evaluadas antes de otras operaciones. La siguiente operación en orden prioritario es el complemento, luego sigue la AND y finalmente la OR.
Funciones Booleanas
Una variable binaria puede tomar el valor 0 ó 1. Una funcion de Boole es una expresión formada con variables binarias, dosoperadores binarios OR y AND, el operador NOT, el paréntesis y el signo igual. Para un valor dado de variables, la función puede ser 0 ó 1. Considérese por ejemplo la función de Boole:
F1  =  xyz’
La función F1 es igual a 1 si x = 1 y y = 1 y z’ = 1; de otra manera F1 = 0. El ejemplo anterior es una función de Boole representada como una expresión algebraica. Una función de Boole puede  serrepresentada por medio de una tabla de verdad.
Operadores Booleanos
Principales operadores booleanos:

 
3.2.2 Minterminos y Maxiterminos
Una variable binaria puede aparecer en su forma normal (x) o en la forma de complemento (x’). Considérese ahora dos variables binarias x y y combinadas con la operación AND; como cada variable puede aparecer de cualquier forma, habrá cuatro combinaciones posibles: x’y’,x’y, xy’ y xy  Cada uno de estos cuatro términos AND representan y se llaman términos mínimos (miniterms) de un producto normalizado. De igual manera, se pueden cambiar n variables para formar 2^n términos mínimos.

Cada término mínimo se obtiene de un término AND de n variables con cada variable tildada, si el bit correspondiente al número binario es 0 y si no está tildada a 1. Un símbolo paracada término mínimo se ilustra en la tabla en la forma mj, donde j denota, el equivalente decimal del número binario del término mínimo correspondiente.
De manera similar, las n variables formando un término OR, con cada variable tildada o no tildada, darán 2^n combinaciones posibles llamadas términos máximos (maxterms) de lassumas normalizadas.
Cada término máximo se obtiene de un termino ORde n variables con cada variable no tildada, si el correspondiente bit es 0 y tildada si es 1.
Cualquier función Booleana se puede expresar como suma de miniterminos  o como producto de maxiterminos y a estas formas se dice que está en forma canónica.
 
3.2.3 Mapas de Karnaugh
Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas  y, si se aplica adecuadamente,genera las expresiones suma de productos y producto de sumas más simples posibles.
Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. En vez de estar organizada en filas y columnas como una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh es una secuencia de celdas en la que cada celda...