Algebra Boole

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ALGEBRA DE BOOLE

EPIS – UNPRG

I. ALGEBRA DE BOOLE
I.1 DEFINICION.
El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores
perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos
operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) ( la operación producto se indica
generalmente mediante la ausencia de símboloentre dos variables lógicos.)
Cumplen las siguientes Propiedades:
a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del álgebra, se verifica:
a+b=b+a

a.b=b.a

b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de
identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:
0+a=a
1.a=a
c) Cada operación es distributiva con respecto a laotra:
a . ( b + c) = a . b + a . c
a+(b.c)=(a+b).(a+c)
d) Para cada elemento a del álgebra existe un elemento denominado a , tal que:
_ _
a+a=1
a.a=0
Este postulado define realmente una nueva operación fundamental que es la inversión o
complementación de una variable. La variable a se encuentra siempre en un estado binario contrario
al de a. La tabla de verdad de la inversión o complemento, es:
_
a a0 1
1 0

Físicamente son varios los conjuntos que poseen dos operaciones binarias que cumplen los
postulados desarrollados. Ejemplo de estos conjuntos son el álgebra de las proposiciones o juicios
formales y el álgebra de la conmutación formada también por elementos que pueden tomar dos
estados perfectamente diferenciados.
Los primeros circuitos de conmutación o lógicos utilizados, han sido loscontactos que pueden ser
empleados para memorizar más fácilmente las leyes del álgebra de Boole antes expresadas y los
teoremas.
La operación suma se asimila a la conexión en paralelo de contactos y la operación producto a la
conexión en serie. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre el opuesto del primero,
es decir está cerrado cuando aquél está abierto y viceversa. El elemento 0es un contacto que está
siempre abierto y el elemento 1 un contacto que está siempre cerrado. Además se considera una
función de transmisión entre los dos terminales de un circuito de contactos, que toma el valor 1,
cuando existe un camino para la circulación de corriente entre ellos (corto circuito ) y el valor 0 si
no existe dicho camino (circuito abierto).

Bernardo Núñez Montenegro.

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I.2 Teoremas de Algebra de Boole
Teorema 1
Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de Boole permanece válida si la
operación + y . y los elementos 0 y 1 se intercambian entre sí.
Este principio, llamado de dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatros
postulados con respecto a ambas operaciones y amboselementos neutros.
Teorema 2
Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica:
a+1=1
y

a.0=0

Teorema 3
Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica:
a+a=a
y

a.a=a

Teorema 4
Para cada par de elementos del álgebra de Boole a y b se verifica:
a + ab = a
y
a ( a + b) = a
Esta ley se llama Ley de Absorción.
Teorema 5
En un álgebra de Boole, las operaciones suma y producto son asociativas.a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c
a ( b c) = ( a b ) c = a b c
Teorema 6
Para todo elemento a del álgebra de Boole se verifica:

Bernardo Núñez Montenegro.

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=
a=a

TEOREMA 7
En toda álgebra de Boole se verifica:
1) a + b + c + d + ……… = abcd
____
2) abcd…………………… = a + b + c + d
Estas igualdades son denominadas Leyes de De Morgan.
Este teorema definerealmente dos nuevas funciones lógicas de gran importancia que serán
utilizadas como elementos básicos para la realización de los sistemas digitales. Estas dos funciones
que realizan las expresiones (1) y (2), se denominan respectivamemnte NOR y NAND.
Las tres funciones elementales: suma, producto e inversión lógica pueden ser realizadas mediante
las funciones NOR y NAND.
Aplicando el teorema de De...