Algebra Booleana GUIA


UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA CALI
FACULTAD DE INGENIERIA


LÓGICA
GUÍA DE TRABAJO No 5
TEMA: ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y CIRCUITOS LÓGICOS
Profesor: Walter G. Magaña S.

CAPITULO 5

ALGEBRAS BOOLEANAS Y CIRCUITOS LÓGICOS


Objetivos:

1. Aplicar adecuadamente las propiedades del Álgebra Booleana en la estructuración y simplificación de circuitos lógicos.

2. Usar correctamentelas compuertas lógicas en el diseño y elaboración de circuitos lógicos.



Las Algebras de Boole corresponden al área del conocimiento matemático sobre las cuales se sustentó el diseño y construcción de circuitos lógicos y digitales, que se constituyeron en el avance tecnológico revolucionario tanto para la ingeniería electrónica como para la ingeniería de sistemas o informática. En estasección se inicia con los axiomas del Algebra de Boole, su aplicación a los circuitos de conmutación para finalizar con las compuertas lógicas, diseñando circuitos con ellas mediante el uso de las álgebras de Boole.

5.1. AXIOMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

Sea B un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias, + y * (En algunos casos se definen en términos de  y respectivamente), y una operación unaria, denotada '. Entonces a la terna B, +, * se le denomina Algebra Booleana si se cumplen los siguientes axiomas o leyes:

B1) Leyes Conmutativas. Las dos operaciones son conmutativas:
Para todos los elementos x, y  B, se cumple que:
1A) x + y = y + x
1B) x * y = y * x

B2) Leyes Distributivas. Cada operación es distributiva con respecto a la otra:
Paratodos los elementos x, y, z  B, se cumple que:
2A) x + (y * z) = (x + y) * (x + z)
2B) x * (y + z) = (x * y) + (x * z)

B3) Leyes Modulativas. Cada operación binaria es modulativa y los módulos son diferentes:
Para todo x  B, existen dos elementos diferentes 0 y 1 en B tales que:
3A) x + 0 = 0 + x = x
3B) x * 1 = 1 * x = x

B4) Leyes de Complemento.
Para todo elemento x  Bexiste un elemento x'  B tal que:
4A) x + x' = 1
4B) x * x' = 0


5.1.1. Ejemplos de estructuras booleanas

Ejemplo 1. La siguiente es una de las Álgebras Booleanas con aplicación directa a los circuitos de distribución. Para futuras referencias se denominará Álgebra Binaria de Boole.
Sea el conjunto B = {0, 1} en el cual se definen las operaciones + y * de acuerdo a lassiguientes tablas:

+
0
1

*
0
1
0
0
1

0
0
0
1
1
1

1
0
1

Se supone que los complementos se definen por 1' ≡ 0 y 0' ≡ 1.
(Observe la relación de estas tablas con la disyunción () y la conjunción () respectivamente, y la relación de los complementos con la negación de una proposición)
Demostrar que B, +, *, ' es un álgebra booleana, mostrando que se satisfacen los axiomasB1 a B4.

Solución:
B1) Las leyes conmutativas de las operaciones + y * se evidencian en la simetría de la matriz de resultados en ambas tablas.

B2) Establecer la distributividad de cada una de las operaciones con respecto a la otra exige calcular el resultado de ocho combinaciones posibles en cada caso.
Para 2A) x + (y * z) = (x + y) * (x + z):





A


B
x
y
z
y * z
x+ (y * z)
x + y
x + z
(x + y) * (x + z)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Se observa que las columnas A y B son iguales

Para la forma 2B) x * (y + z) = (x * y) + (x * z)





A


B
x
y
z
y + z
x * (y + z)
x * y
x * z(x * y) + (x * z)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Se observa que las columnas A y B son iguales

B3) En la tabla de la operación + es fácil observar que 0 es el módulo de esta operación y en la tabla de * análogamente se...