Algebra booleana

Algebra booleana y realizaciones de circuito.
Introducción
Dada la importancia que tiene el algebra de conmutación o booleana en el diseño de calculadoras, computadoras, sistemas de comunicación, sistemas e control, y en la gran cantidad de aplicaciones digitales de las ultimas décadas, es importante comprender perfectamente el sistema de algebra de conmutación. Con el pueden formularseproposiciones que son falsas o verdaderas, combinarlas para hacer otras nuevas y determinar la verdad o falsedad de estas.
Los postulados básicos del algebra booleana se deben a Huntington y pueden emplearse para evaluar u obtener otros teoremas. Los postulados de Huntington tienen que ver con varios operadores definidos sobre un conjunto de elementos primitivos (sin definir). Un conjunto es cualquiercolección de elementos que tienen una o varias propiedades en común.
El conjunto de los elementos indefinidos del algebra booleana puede estar formado por los números 0, 1, 2, 3, etc. Un algebra booleana debe de tener 2 elementos. En particular en la teoría de conmutación, o algebra booleana binaria el conjunto primitivo consiste del 1 y el 0, alrededor de los cuales se define las operacionesAND, OR. Y su complementación.
Las representaciones lógicas d funciones en 2 niveles conducen a soluciones en forma de sumas de productos SDP y de productos de sumas PDS. Estas representaciones pueden realizarse en lo que se llama desarrollo en minitérminos o formas canónicas SDP y desarrollo en maxitérminos, o formas canónicas PDS.
El método canónico tal como se emplea aquí, se refiere a la formade definir una función booleana de modo tal que sea posible comparar otras funciones con la finalidad de determinar la equivalencia entre estas.
La factorización puede reducir el número de compuertas o el número de literales requerido, la factorización también reduce la carga máxima de un circuito, con lo que es posible compensar el aumento de la longitud en la trayectoria.
Postulados deHuntington
El sistema binario no es el único sistema booleano posible. En los problemas que aparecen al final del capítulo se consideran otros sistemas booleanos.

Los postulados de Huntington son los siguientes:
-El conjunto de elementos S debe ser cerrado. Los 2 operadores fundamentales en un sistema booleano binario son AND y OR, los cuales se denotan por *.* y *+*.Los elementos A*B y A+B debenser elementos de S, A no es igual B.
-Existe en S un elemento 1 tal que para todo A en S. A*1 = A: existe un elemento 0 en S tal que para todo A en S. A+0 = A.
-Los elementos de S conmutan; A*B = B*A y A+B = B+A.
-Los elementos de S obedecen las leyes distributivas:
A+(B*C)=(A+B)(A+C) y A*(B+C)=(A*B)+(A*C)
-Los elementos de S obedecen las leyes asociativas:
(A*B)C=A*(B*C)=A*B*C, y(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C.
-Todo elemento de S tiene un complemento único tal que (A) = A, A*A(negada) = 0 y A+A(negada)=1, donde 0 y 1 son complementos.
Demostración de teoremas booleanos binarios
Los teoremas binarios booleanos pueden demostrarse mediante el análisis de la teoría conmutación, por análisis de compuertas lógicas y por la aplicación de tablas de verdad.
EJEMPLO: X+X*Y=X*1+X*Y=X*(1+Y)
=X*1
=X
Los teoremas de conmutación también pueden demostrarse por medio de una grafica denominada diagrama de ven.
En este diagrama la operación lógica AND esta representada por la intersección o traslapa miento de 2 áreas mientras que la operación lógica OR esta representada por la unión o suma de las 2 áreas.
Existen 2 tipos de circuitos lógicos, los formados porinterruptores y los que constan de compuertas. Los 2 tipos de circuitos pueden emplearse para demostrar teoremas de algebra booleana. Para ello se supone que los interruptores son ideales, cuando el interruptor esta abierto no hay corriente y por lo tanto ninguna señal, cuando el interruptor esta cerrado no hay caída de voltaje a través de el, situación la que se transmite cualquier señal a través de el....