Algebra Booleana

Álgebra de Boole
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue elprimero en definirla como parte de un sistema lógico en el año 1854, en su tratado, An investigation of the laws of thought on which to found the mathematical theories of logic and probabilities. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbitodel diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta logica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar unaimplementación de la función.

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Definición
Una álgebra de Boole es una tripleta . Donde , + y son operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:
1. Propiedad conmutativa:

2. Propiedad asociativa:

3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros. Existen tales que:

5. Propiedad de los opuestos. Existe tal que:
| | |
0 | 1 |1 |
1 | 0 | 1 |

| | |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |

[editar] Como retículo
Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

Operaciones
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra deBoole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:
[editar] Operación suma
a | b | a + b |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1,el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.
| | | |

[editar] Operación producto
a | b | a b |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
La operación producto () asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dosvalores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.
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[editar] Operación negación
a | |
0 | 1 |
1 | 0 |
La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

| |

[editar] Operaciones combinadas
a | b | | |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 |0 | 1 |
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.
| | ||

[editar] Leyes fundamentales
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:

2. Ley de involución:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

6. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8. Leyes de De Morgan:...