Algebra Booleana

 Algebra Booleana
1- ¿QUE ES EL ALGEBRA BOOLEANA?
El algebra booleana fue desarrollada por George Boole y en su libro An investigation of the laws of thought publicado en 1854.
Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valorbooleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. En si es la herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana, tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc).
Es una expresión lógicaque se compone de variables y los operadores lógicos OR y NOT. Ejemplo: A+B’+C y A’+B+C.

1.2 Postulados del algebra booleana.
El algebra Booleana cuenta con los siguientes postulados:
Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto
B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones
denominadas "suma u operaciónOR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ( ), las
cuales cumplen con las siguientes propiedades:
Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado
O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:
(a) x + O = x (b) x. 1 = x
Conmutatividad. Para cada x, y en B:
(a) x+y = y+x (b) x y =y xAsociatividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x + (y + z) = (x + y) + z (b) x (y z) = (x y) z
Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(y z)=(x+y) (x+z) (b) x (y+z)=(x y)+(x z)
Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único
denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que
(a) x+x = 1 (b) x x = O
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleanaen el siguiente juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variablesA y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.

Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.

En álgebra booleana, se conoce como forma canónica de una expresión, a todo producto o suma en la cual aparecen todas sus variables en su forma directa o inversa.


2- EXPRESIONES BOOLEANASUna expresión lógica puede expresarse en forma canónica usando minitérminos o maxitérminos.
El algebra Booleana trabaja con señales binarias, una gran cantidad de sistemas de control, conocidos como digitales que igual usan señales binarias y estas son falsas o verdaderas que proviene de sensores que mandan la información al circuito de control.
2.2 Sensores
Los sensores pueden ser:Ópticos
Magnéticos
De temperatura
De nivel
En cada uno de estos grupos de sensores existen tipos, tamaños y modelos de acuerdo con el uso y funcionamiento de forma que existen infrarrojos, láser, fotoeléctricos y de ultrasonido, entre otros.
Se puede decir que en general una expresión booleana es un sistema de símbolos que incluyen 0,1 , algunas variables y las operaciones lógicas.

3-PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES BOOLEANAS
a) Formadas con variables booleanas ( A,B, C …) y cada una representa la señal de un sensor.
Ejemplo: F= A’BD + AB’ CD
b) Solo valores de 1 (verdadero) ó 0 (falso )
c) Puede tener constantes booleanas (1 ó 0)
Ejemplo: F= A’BD1 + AB’ CD + 0
d) Puede tener operadores lógicos: AND (&,
^), OR (V) y NOT (¬, ‘, -, ~)
Ejemplo: F= A’BD1 + AB’ CD + 0...