Algebra booleana

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

ÁLGEBRA DE BOOLE
Lic. Marta Isabel Carrizo de Nemiña

SANTIAGO DEL ESTERO

George Boole (1815 - 1864): Matemático y lógico inglés, que puso los fundamentos del moderno estudio de la lógica simbólica en una obra a la que tituló "The Laws of Thought". Recién en 1938, C.E.Shannon entre otros, advirtió que el álgebra booleana se podía aplicar en el análisis y diseño de circuitos eléctricos y lógicos de las computadoras, pues permite simplificar las conexiones físicas reduciendo en hardware y consiguientemente el espacio necesario para alojarlo. En estas Notas se verá el Álgebra de Boole desde una perspectiva general y abstracta, sin olvidar que son muchas y muyimportantes las aplicaciones concretas de estructura como las compuertas lógicas, los circuitos lógicos, circuitos de interruptores, etc..

ALGEBRA DE BOOLE
Lic. Marta Isabel Carrizo de Nemiña

Definición: Un conjunto no vacío B sobre el cual se han definido dos leyes de composición interna + : B x B → B, . : B x B → B y la ley ' : B → B, es un Álgebra de Boole si y sólo sí 1) + y . son asociativas ♦∀ a, b, c ∈ B; a + (b + c) = (a + b) + c ♦ ∀ a, b, c ∈ B; a. (b . c) = (a . b) . c 2) + y . son conmutativas ♦ ∀ a, b ∈ B; a + b = b + a ♦ ∀ a, b ∈ B; a . b = b . a 3) + y . son distributivas, cada una respecto de la otra ♦ ∀ a, b, c ∈ B; a + (b . c) = (a + b) . (a + c) ♦ ∀ a, b, c ∈ B; a . (b + c) = (a . b) + (a . c) 4) Existen elementos neutros en B, respecto de + y de . que se denotan con 0 y1 respectivamente ♦ ∃ 0∈B:∀a∈B; a+0=0+a=a ♦ ∃ 1∈B:∀a∈B; a.1= 1.a=a 5) 1≠0 ≠

6) Todo elemento a ∈ B admite un complementario a'∈ B, tal que ♦ ∀ a ∈ B ; ∃ a' ∈ B: a + a' = a' + a = 1 ♦ ∀ a ∈ B ; ∃ a' ∈ B: a . a' = a' . a = 0 Notas: 1.- Es frecuente que, en vez de +, . y ' se empleen los símbolos ∪, bien ∨, ∧ y ∼. ∩yc o

2.- Se supondrá, al igual que el álgebra ordinaria, la precedencia de lasoperaciones, esto es, la operación producto es prioritaria sobre la operación adición. Esta prioridad podrá ser alterada con el uso de paréntesis. Por ejemplo: a +b .c = a +(b .c), pero a +b .c ≠ (a +b) .c

Modelos de la Estructura Algebraica de Álgebra de Boole
1.Sea U un conjunto no vacío. El conjunto P(U) de las partes de U, con la unión y la intersección de conjuntos, es un modelo de laestructura algebraica de Álgebra de Boole. Donde el conjunto ∅ es el elemento neutro para la unión, U es elemento neutro para la intersección y Ac =U - A es el complemento de A⊂U. 2.El conjunto de los valores de verdad V = { V, F } de las proposiciones lógicas, con las conectivas lógicas disjunción (∨) y conjunción (∧) definidas por ∨ ∧ las tablas ∨ V F V V V F V F ∧ V F V V F F F F

y la negación(∼), constituyen un Álgebra de Boole, donde F es el elemento ∼ neutro para la disjunción, V es el elemento neutro para la conjunción y el valor de verdad de ∼p (la negación de la proposición p) es el complementario del valor de verdad de la proposición p.

3.- El conjunto B = { 0, 1} con las leyes definidas mediante las tablas + 0 1 0 0 1 1 1 1 . 0 1 0 0 0 1 0 1

constituye un modelo de laestructura algebraica de Álgebra de Boole, llamada Álgebra de Boole Binaria, donde 0 es el elemento neutro para la suma, 1 es el elemento neutro para el producto, el complementario de 0 es 1 (0' = 1) y el complementario de 1 es 0 (1' = 0).

Definición: Dada una proposición P, se llama proposición dual de P a la proposición que se obtiene de P al intercambiar entre sí las operaciones de suma (+) ymultiplicación (.) y sus elementos neutros 0 y 1.

Nota: Es fácil advertir que los axiomas de la estructura de Álgebra de Boole relativo a la operación multiplicación (.) son los duales de los axiomas correspondientes a la operación suma (+).

Propiedades del Álgebra de Boole
A continuación se enunciarán propiedades del Álgebra de Boole, algunas de las cuales se demostrarán y otras se...