Algebra booleana

ÁLGEBRA BOOLEANA



[Matemáticas Discretas]




Luis Javier de la cruz orona




Bertha Alicia







27 DE MAYO DE 2011
ÍNDICE


Algebra Booleana (Inicios)……………………………………………………………………… 3
Definición y propiedades………………………………...………………………………………. 3 – 4
Operaciones…………………………………………………………………………………………… 4 – 6
Leyes Fundamentales……………………………………………………………………………… 7 – 8Principio De Dualidad………………………………………………………………………………. 8
Algebra De Boole Aplicada A La Informática……………………………………………… 9
Jerarquía De Los Operadores…………………………………………………………………….. 10
Símbolos De Puertas Lógicas…………………………………………………………………….. 11 – 14
Equivalencia Entre Puertas Lógicas……………………………………………………………. 14





ÁLGEBRA BOOLEANA
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) es unaestructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos deconmutación eléctrica biestables, en 1948.
[pic] [pic]
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
Álgebra de Boole es una tripleta[pic]. Donde[pic], + y [pic]son operaciones internas en [pic]y además para cualquier [pic]se cumplen los siguientes axiomas:
1. Propiedad Conmutativa:
[pic]
[pic]
2. Propiedad Asociativa:
[pic]
[pic]
3. Propiedad Distributiva:
[pic][pic]


4. Propiedad De Los Neutros. Existen [pic]Tales Que:
[pic]
[pic]
5. Propiedad De Los Opuestos. Existe [pic]Tal Que:
[pic]
[pic]

OPERACIONES
|a |b |a + b |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |


Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estoselementos se definen varias operaciones,
1. Operación Suma:
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
[pic]
Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.
[pic]
Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.
|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |

2. Operación Producto:
|a |b |a |
| | |[pic]b|
|0 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|1 |0 |0 |
|1 |1 |1 |


La operación producto ([pic]) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
[pic]
Esta operación en lógica deinterruptores es un circuito en serie de dos interruptores
[pic]
Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

3. Operación Negación:
|a |[pi|
| |c] |
|0 |1 |
|1 |0 |


La operación negaciónpresenta el opuesto del valor de a:
[pic]
Un interruptor inverso equivale a esta operación:
|[pic] |[pic] |


[pic]
4. Operaciones Combinadas
|a |b |[pic] |
|0 |0 |1 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|1 |1 |1 |


Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras máscomplejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:
[pic]
Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.
[pic]
La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.
|[pic] |[pic] |[pic]...