algebra booleana

ALGEBRA BOOLEANA



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Universidad Simón Bolívar



Facultad: INGENIERIA INDUSTRIAL



Asignatura: Electiva ciencias básicas: LOGICA MATEMATICAS


2014
Algebra booleana
Un algebra booleana es un conjunto B, con dos operaciones binarias binarias v y ƛ, una operación unaria y dos elementos distintos y que satisfacen las siguientespropiedades para cualesquiera a,b,c en B:
Propiedad conmutativa:
A + B = B + A
A · B = B · A
Propiedad distributiva:
A· (B+C) = A·B + A·C
A + B·C = (A+B)·(A+C)
Elementos neutros diferentes
A + 0 = A
A · 1 = A
Siempre existe el complemento de A, denominado A’
A + A’ = 1
A · A’ = 0
PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica Deducible de los postulados anteriores puedetransformarse en un segundo teorema o identidad válida sin más que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.
CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B
VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa.
Suma Booleana es la función lógica OR
X=A + B
Multiplicación Booleana es la función lógica AND
X = AB



TEOREMAS:
Teorema 1: el elementocomplemento A’ es único.
Teorema de los elementos nulos: para cada elemento de B se verifica:
A+1 = 1
A·0 = 0
Teorema 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.
0’=1
1’=0
Teorema de idempotencia: para cada elemento de B, se verifica:
A+A=A
A·A=A
Teorema de involución: para cada elemento de B, se verifica:
(A’)’ = A
Teorema de absorción: para cada par de elementos de B, severifica:
A+A·B=A
A·(A+B)=A
Teorema 7: para cada par de elementos de B, se verifica:
A + A’·B = A + B
A · (A’ + B) = A · B
Gráfica
La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse lossímbolos de las puertas lógicas)

Representación gráfica de dos funciones lógicas
Métodos de simplificación
Por simplificación de una función lógica se entiende la obtención de su mínima expresión. A la hora de implementar físicamente una función lógica se suele simplificar para reducir así la complejidad del circuito.
Algebraico
Para la simplificación por este método no sólo bastará con conocertodas las propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta habilidad lógico-matemática que se adquiere fundamentalmente con la experiencia.
Como ejemplo se simplificará la siguiente función:
F = A’C’ + ABC + BC’ + A’B’C + A’BC
Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2º con 5º y 4º con 5º que conllevansimplificación:
F = A’C’ + BC’ + BC(A + A’) + A’C(B + B’)
Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que dice que A + A = A. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole (A + A' = 1 y A . 1 = A), queda
F = A’C’ + BC’ + BC + A’C
Repitiendo nuevamente el proceso,
F = A’( C’ + C) + B( C’ + C) = A’ + B
No siempre las funciones son tan fáciles de simplificar como la anterior.El método algebraico, por lo general, no resulta cómodo para los no expertos, a los cuales, una vez simplificada una ecuación le pueden quedar serias dudas de haber conseguido la máxima simplificación.

Mapa de Karnaugh
Este método consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el número de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de talforma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando únicamente una variable, ya sea en forma negada o directa.
Este método se emplea fundamentalmente para simplificar funciones de hasta cuatro variables. Para un número superior utilizan otros métodos como el numérico. A continuación pueden observarse los diagramas, también llamados mapas de...