Algebra Booleana

ALGEBRA BOOLEANA
Un sistema axiomático es una colección de conocimientos ordenados jerárquica-mente
mediante reglas o leyes lógicas aplicadas a un número limitado de conceptos o principios
básicos.
Un sistema axiomático se compone de:
●

TÉRMINOS PRIMITIVOS: No se definen

●

DEFINICIONES: Conceptos que se crean mediante conectivos lógicos de los
términos primitivos

●

AXIOMAS: Proposiciones nodemostrables que se establecen como ciertas, son las
nociones fundamentales de la teoría.

●

TEOREMAS: Leyes que se demuestran aplicando los axiomas, se derivan de los
axiomas.

Un sistema axiomático BIEN FORMULADO satisface:
●

CONSISTENCIA LOGICA. Carece de proposiciones contradictorias

●

INDEPENDENCIA DE SUS AXIOMAS: ninguno de sus axiomas puede deducirse de
los otros axiomas.

●COMPLETITUD: posee el número suficiente y necesario de enunciados lógicos que
garanticen que toda proposición que se infiera de la teoría es consecuencia lógica
de los axiomas.

ALGEBRA BOOLEANA (ALGEBRA LOGICA)
Es un sistema axiomático que debe su nombre a George Boole quien a mediados del siglo
XIX desarrolló una teoría lógica que utilizaba símbolos en lugar de palabras. Claude E.
Shannon, casi un siglodespués (1938) la aplicó a la teoría de circuitos lógicos.
Un ÁLGEBRA DE BOOLE es un sistema de elementos B={0,1} y los operadores
binarios: ·, +, y, ’
Operador

+

Operador

·

OPERADOR

se le llama

se le llama

‘

Operador OR

Operador AND

se le llama

Operador NOT

VARIABLES Y CONSTANTES BOOLEANAS
Una variable booleana representa cada uno de los dos estados posibles que puede
adoptar lasvariable. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar
magnitudes lógicas y pueden tener sólo dos valores posibles:

1

1

valor alto

activado

si

cerrado

ó
0
!
!
!
!

valor bajo

desactivado no

abierto

Se corresponden con señales de entrada, de salida o intermedias.
Se representan mediante caracteres alfabéticos .A., .B., .X....
Pueden tomar dos valores (0 ó 1).
Se denominaliteral a una variable o a su complemento x, x'

OPERACIONES DEL ALGEBRA BOOLEANA Y COMPUERTAS BÁSICAS
SUMA LOGICA (OR)
+ 0 1
0 0 1
Símbolo lógico para la compuerta OR

1 1 1

PRODUCTO LOGICO (AND)
x 0 1
0 0 0
Símbolo lógico para la compuerta AND

1 0 1

INVERSION LOGICA (NOT)
x

x' o x

0

1

1

0

Símbolo lógico para la compuerta NOT

POSTULADOS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Un algebra booleana es unsistema algebraico definido sobre un conjunto B con al menos
dos elementos, y dos operaciones definidas : suma (operación OR) y producto (operación
AND) y que satisface las siguientes propiedades:
P1.ELEMENTOS NEUTROS: Existen en B, el elemento neutro de la suma (0) y el
elemento neutro de la multiplicación (1) tales que para todo x en B
a) x+0 = x

b) x.1 =x

P2.CONMUTATIVAS: Para todo elemento x enB

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a) x+y = y+x

b) xy=yx

P3.ASOCIATIVAS: para todo x, y, z en B
a) x+(y+z)=(x+y)+z

b) x(yz)=(xy)z

P4.DISTRIBUTIVAS: para todo x, y, z en B
a) x+(yz)=(x+y)(x+z)

b) x(y+z)=xy+xz

P5.COMPLEMENTOS ( o inversión lógica): para cada x en B existe un único elemento
x o x' llamado el complemento de x tal que
a) x + x' = 1

b) xx'=0

PRINCIPIO DE DUALIDAD
Dos expresiones booleanas se dicen dualesuna de la otra, si una se puede obtener de la
otra cambiando las operaciones + por * y viceversa y cambiando cero por uno

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Cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede
transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+)
por (·) y 1 por 0.
Ejemplos
Expresión

Expresión Dual

x+y = 1

x*y = 0

X*0=0

x+1=1

PROPIEDADES DELALGEBRA BOOLEANA
Teorema 1. Leyes de idempotencia. Para todo x en B, x*x=x ,y, x+x=x

∀ x∈B , x∗x=x

Dual:

∀ x∈B , xx=x

x*1=x

Postulado 1b)

x+0=x

Postulado 1a)

x*(x+x')=x

Postulado 5a)

x+(x*x')=x

Postulado 5b)

x*x+x*x'=x

Postulado 4a)

(x+x)*(x+x') =x

Postulado 4a)

x*x+0=x

Postulado 5b)

(x+x)*1=x

Postulado 5a)

x*x=x

Postulado 1a)

x+x=x

Postulado 1b)

Teorema 2. Leyes de...