Algebra booleana

ÁLGEBRA DE BOOLE
En 1938 Claude Shannon del MIT demostró que la álgebra lógica de George Boole (desarrollada casi un siglo antes) podría ser aplicada al análisis de problemas de compuertas digitales. LAS OPERACIONES ELEMENTALES EN EL ÁLGEBRA BOOLEANA SON: AND, OR Y NOT Todas las expresiones lógicas complejas son construidas a partir de estas tres. En circuitos electrónicos el operador AND esdenotado por un punto ( ), así A AND B usualmente se escriben como A B. El operador OR es expresado con un símbolo de mas (+), así A OR B se escribe como A+B. La operación NOT es indicada por una línea encima, un tal que, así NOT (A) es expresada como or Los operadores básicos son definidos por estás tablas de verdad, A y B son variables lógicas, por ejemplo, variables que pueden tomar uno o dosposibles valores, 0 y 1. En la concepción original de Boole, la lógica 0 podría corresponder a una declaración FALSA, mientras que la lógica 1 correspondería a una declaración VERDADERA. En circuitos electrónicos, no nos preocupa lo verdadero o lo falso, en cambio con un valor de voltaje dado para un circuito en un punto. Usualmente se toma la lógica 0 como 0 Voltios, y la lógica 1 corresponde alvoltaje positivo estandarizado (+5 voltios es una elección común para la lógica 1).

Ernesto J. Gómez Vázquez

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Tabla de verdad para el operador OR: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A + B = A OR B 0 1 1 1

Tabla de verdad para el operador AND: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B = A OR B 0 0 0 1

Tabla de verdad para el operador NOT (Complemento lógico): = A’

A0 1

NOT (A) = 1 0

Símbolos de Compuertas Lógicas
En circuitos electrónicos construimos circuitos que realizan las funciones básicas de la lógica digital. Estos circuitos son llamados “compuertas lógicas” o usualmente solo “compuertas”. Hay varias “familias” de circuitos digitales, cada una usa diferentes acercamientos (ej. ECL contra TTL) o diferentes dispositivos (CMOS contra TTL) parahacer compuertas lógicas. Sin embargo, la mayoría de estos detalles pueden ser ignorados en las primeras etapas del desarrollo de un circuito digital. Así es común Ernesto J. Gómez Vázquez Página 2

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diagramar circuitos digitales usando los siguientes símbolos para los tres operadores básicos.

A

=

Teoremas de lógica booleana de una variable AND A 0=0A 1=A A A=A A =0

OR A+0=A A+1=1 A+A=A A+ =1

Puede ser vista de muchas maneras los operadores AND y OR son complementos el uno del otro. Es claro también que en algunas formas AND es análoga a la multiplicación, y OR es análogo a la suma; Por lo tanto símbolos y +. Ciertamente el operador AND es referido como el “producto lógico” y el operador OR como la “suma lógica”. Sin embargo, no hayque olvidar que el álgebra booleana es diferente del álgebra ordinaria y tiene distintas reglas.

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NOT =A

Teoremas Básicos de Álgebra Booleana
Los siguientes teoremas de álgebra booleana son la base de todos los diseños de circuito digital y optimización. Algunos son obvios, y el resto pueden ser entendidos usandolas tablas de verdad. Las reglas de conmutación A+B=B+A A B=B A

Las reglas asociativas A + (B + C) = (A + B) + C A (B C) = (A B) C

Las reglas de absorción (útil para eliminar argumentos lógicos redundantes en compuertas) A + (A B) = A A (A + B) = A

Las reglas de distribución A (B + C) = (A B) + (A C) esto es análogo a la regla distributiva in álgebra ordinaria, ej. La multiplicación esdistributiva atreves de la adición. A + (B C) = (A + B) (A + C) esta no tiene analogía en álgebra normal

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Las leyes De Morgan (los más importantes teoremas para diseño de lógica digital) = =

Pruebas de los teoremas de Álgebra Booleana
La corrección de cualquier identidad de álgebra booleana puede ser comprobada...