Algebra Boolenana Y Circuitos Matematicas Discretas

Teoremas Del Algebra Booleana


Teorema 1 Multiplicación por cero

a) A.0 = 0
A.0 = A.0 + 0 0 es el neutro de la suma

b) A+1 = 1
1+0=1
1+1=1


Teorema 2 Absorción

a) A + AB = A
Explicación:
A + AB = A.1 + AB 1 es el neutro del producto
= A(1 + B) distributividad
= A(1) Teorema 1
= A es el neutro del producto
este teorema se puede usar en diversos casos desimplificación, basta con usar identificar en una suma,
una expresión que se repite primero en forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.

b) A(A + B) = A


Ejemplos.
La expresión AB + ABC por absorción es igual a AB
La expresión X+ XY por absorción es igual con X









Teorema 3 Cancelación


a) A + AB = A + B Explicación:
A + AB = (A+A)(A+B)
distributividad
= 1.(A+B)la suma de una variable con su complemento es 1
= A+B 1 es el neutro del Producto
Este teorema se puede usar en la simplificación de expresiones cuando encontramos una expresión
sumada Con su complemento multiplicado por otra expresión (o el dual).

b) A(A + B) = A B


Ejemplos:
La expresión A + ABC por cancelación es igual a A + BC
La expresión A + AB por cancelación es igual a A + BLa expresión XY + XY Z por cancelación es igual a XY + Z

Teorema 4 Cancelación

a) AB + AB = B
Explicación:
AB + AB = (A+A )B distributividad
= 1.B la suma de una variable con su complemento es 1
= B 1 es el neutro del producto
Para usar este resultado hay que identificar dos términos que tienen un factor común y el término que no
es común en una de ellas es el complemento del de laotra.

b) (A+B)(A+B)=B

Ejemplos:
La expresión ABC+ABC, por cancelación es igual a BC
La expresión XYZ+XY Z, por cancelación es igual a Z

Teorema 5 Idempotencia
a) A.A = A
este teorema es inmediata del teorema de absorción, ya que A + A =
A+ A.1.
Este teorema implica que cuando existen términos semejantes en una expresión, basta con escribir uno
de ellos, o bien, que un términopuede "desdoblarse" tantas veces como se quiera. Obsérvese que
también esto implica que An = A para cualquier número n entero positivo.

b) A+A= A



Ejemplos:
La expresión (X+Y)(X+Y) por idempotencia es igual a X+Y
La expresión XYZXYX por idempotencia es igual a XYZ
La expresión XY+Z+ XY por idempotencia es igual a XY+Z

Teorema 6 Consenso

a) AB + AC + BC = AB + AC
Demostracióndel inciso (a)
Explicación:
AB +AC + BC = AB +AC + BC(A +A) A+A es el neutro de la multiplicación
= AB +AC +ABC +ABC distributividad
= (AB +ABC) + AC +ABC) conmutatividad y asociatividad
= AB + AC absorción
La clave para usar este teorema es encontrar dos términos que contengan una expresión en uno
afirmada y en otro negada, anotar los términos con los que están multiplicando uno y otro ybuscar otro
elemento que sea la multiplicación de estos últimos dos, éste último elemento es el que se puede
eliminar.

b) (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)( A+C)




Ejemplos:
La expresión AB + AC + BC por consenso es igual a AB + AC
La expresión XYZ + XY W + ZW por consenso es igual a XYZ + XY W

Teorema 7. Teorema de De Morgan

a) AB = A+B
Demostración del inciso (a): Para demostrar esteteorema hay que recordar las dos propiedades que
cumple el complemento X de una expresión X, es decir:
i) X+ X = 1 (sumados nos da uno)
ii) X X = 0 (multiplicados nos da cero)
Así, para demostrar el inciso (a) se demostrará que A+B es el complemento de A.B, para ello se hará en
dos partes:
i) sumando:
Explicación:
AB + (A+ B) = AB + B + A por conmutatividad
= A + B + A por cancelación
=1 + B propiedad del complemento
= 1 por Teorema 1
ii) multiplicando
Explicación:
A B (A+ B) = ABA + ABB Por distributividad
= 0 + 0 propiedad del complemento
= 0 idempotencia
Capítulo 4 Álgebra Booleana
37
El teorema de De Morgan se puede generalizar al caso de más de dos variables booleanas, por ejemplo,
para 3 variables, tenemos que A+B+C = (A+B )C = ABC, en forma similar, A.B.C =...