Algebra, cónicas y cuádricas

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA

PUNTO FIJO – ESTADO FALCÓN

REALIZADO POR:

RICARDO RODRIGUEZ

ING. PETROLEO II SEMESTRE “B”

PUNTO FIJO, ENERO DEL 2010

APLICACIONES

CÓNICAS Y CUADRICAS

Las cónicas y las cuádricas responden a un modelo general, son básicamentepolinomios de grado [pic]en dos y en tres variables. Como todos los polinomios de grado dos en varias variables tienen una parte cuadrática, una parte lineal, y una parte constante. Si se quiere ver así, es suma de una forma cuadrática y de una forma afín. Se pueden expresar por tanto como,
[pic]

Cónicas

La ecuación general de una cónica es:
[pic]

o en otros términos:
[pic]

Entre lostipos que podemos encontrar de cónicas podemos destacar las parábolas, elipses, e hipérbolas. Estas cónicas se denominan no degeneradas.

TIPOS

- Elipse [pic]

- Elipse imaginaria [pic]
- Punto [pic]

El par de rectas imaginarias [pic]y [pic]se cortan en un punto real. En este caso, en el punto (0,0)
- Hipérbola [pic]

- Punto [pic]
El par derectas [pic]y [pic]se cortan en un punto. En el punto (0,0)
- Parábolas [pic]

- Par de rectas [pic] ([pic] y [pic])

- Par de rectas imaginarias [pic] ([pic] y [pic])

- Recta doble (o rectas coincidentes) [pic] ([pic], [pic])

- Recta [pic]

CUÁDRICAS

La ecuación general de una cuádrica es:
[pic]
En términos matriciales:
[pic]
Entre los tipos quepodemos encontrar de cuádricas podemos destacar los paraboloides, elipsoides, e hiperboloides. Estas son cuádricas no degeneradas.
 Algunos tipos básicos
- Elipsoide [pic]
- Hiperboloide de una hoja (o hiperbólico) [pic]
- Hiperboloide de dos hojas (o elíptico) [pic]

- Paraboloide elíptico [pic]

- Paraboloide hiperbólico [pic]

- Cono[pic]

MÍNIMOS CUADRADOS 
Mínimos Cuadrados: Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
 Solución del problema de los Mínimos CuadradosLa aproximación mínimo cuadrado tiene solución general para el caso de un problema de aproximación lineal en sus coeficientes cj cualesquiera sean las funciones base fj(x) antes expuestas. Por lineal se entiende f(x) es una combinación lineal de dichas funciones base. Para hallar la expresión de la fórmula general, es posible o bien minimizar el error cuadrático arriba expuesto, para lo cual seharía uso del cálculo multivariable (se trataría de un problema de optimización en cj), o alternativamente hacer uso del álgebra lineal en la llamada deducción geométrica. Para los Modelos estáticos uniecuacionales, el método de mínimos cuadrados no ha sido superado, a pesar de diversos intentos para ello, desde principios del Siglo XIX. Se puede demostrar que, en su género, es el que proporcionala mejor aproximación.
 

Deducción Geométrica del Problema Discreto

La mejor aproximación deberá tender a interpolar la función de la que proviene el conjunto de pares (xk,yk), esto es, deberá tender a pasar exactamente por todos los puntos. Eso supone que se debería cumplir que:
[pic]

Sustituyendo f(x) por su expresión:
[pic]

Esto es, se tendría queverificar exactamente un sistema de n ecuaciones y m incógnitas, pero como en general n>m, dicho sistema está sobredeterminado, no tiene solución general. De ahí surge la necesidad de aproximarlo.
Dicho sistema podría expresarse en forma matricial como:

[pic]

Esto es: [pic]

La aproximación trata de hallar el vector c aproximante que mejor aproxime el sistema Ac = b. Con dicho vector c...