Algebra Cap2

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INTRODUCCIÓN.- aproximadamente hacia el año 4000 a.c. en los inicios de la
historia escrita, las personas comenzaron a pensar en los números como conceptos
abstractos. Esto es se percataron de que dos frutas y dos piedras tenían algo en
común, una cantidad llamada dos, la cual era independiente de los objetos. La
percepción de esta cantidad estaba probablemente auxiliada por el proceso decontar; un ejemplo del concepto matemático de la correspondencia uno a uno.
Con la finalidad de definir una correspondencia uno a uno entre conjuntos de
objetos, el hombre prehistórico señaló con una marca cada objeto o evento
registrado.
En distintas culturas se han ideado diferentes métodos de conteo, así por ejemplo
los incas hacían nudos en una cinta o cuerda para levantar el censo; loschinos
usaban guijarros o varitas en sus cálculos y los ingleses utilizaban pequeños palos
con marcas como comprobantes de los impuestos recibidos.
Como resultado del esfuerzo humano de mantener un registro de las cantidades se
inventaron los primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo.
Los babilonios y egipcios conciben, alrededor del año 2000 a.c. una aritmética en
la que ya utilizanfracciones. Con Pitágoras en el año 525 a.c. los griegos descubren
la necesidad de adoptar números irracionales como √ . En el año 375 a.c. Eudoxio
presenta la teoría de los inconmensurables para representar irracionales como
límite de magnitudes racionales.
Los números negativos, que aparecen en la solución de diversos problemas se
consideran como absurdos, y solo se manejan libremente a partir delsiglo XVII. No
es sino hasta la segunda mitad del siglo XIX que Cantor, Dedekind y Weistrass
desarrollan teorías rigurosas del número real, incluyendo racionales e irracionales.
DESCRIPCIÓN DE LOS DIVERSOS CONJUNTOS DE NÚMEROS.- Los Hindúes fueron los
inventores de los símbolos que hoy los conocemos como números; los cuales
colocados de la siguiente forma:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … se lo conoce como lasucesión de números naturales; donde los
puntos suspensivos señalan que la sucesión se prolonga en forma indefinida hacia
la derecha.
Si dicha sucesión la colocamos entre llaves: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . } obtenemos el
conjunto de los números naturales, el cual fue el primer conjunto de números
conocido por el hombre. Y se lo nombra así:
N = { 1,2,3,4,5,...}
Este conjunto descrito de estamanera posee las siguientes características:
1. La sucesión no termina ni se ramifica, es decir el conjunto N es infinito.
2. Comienza con un elemento que es conocido como uno, “Elemento neutro
multiplicativo”.
3. No se cierra la sucesión sobre si misma; como ocurre con los números de la
esfera de un reloj.
4. En la sucesión de números naturales no existe elemento que siga
inmediatamente a dosdistintos.

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5. No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, peor aún
excluidos de ella; es decir que partiendo de 1 y pasando en forma reiterada al
elemento siguiente se obtienen todos los números naturales.
Ahora si tomamos de la sucesión dos números cualesquiera como: a
donde a=2 y b=5 y realizamos las operaciones básicas, se tiene que:
Adición
2+5=7

Multiplicación
N

2 . 5= 10

N

Nyb

Sustracción

División

2 – 5 = -3

2:5

N

N,

N

Se observa que en la adición y multiplicación los resultados son números que
pertenecen a la sucesión, es decir son también números naturales. Mientras que en
la sustracción o diferencia si el minuendo es menor que el sustraendo el resultado
no pertenece a los números naturales. El caso, que pertenezca a los números
naturales ocurreúnicamente cuando el minuendo es mayor que el sustraendo, así
por ejemplo: 8 - 3 = 5 N.
Entonces se puede generalizar, diciendo; que no siempre la diferencia ocurre en los
números naturales.
De modo similar se presenta en la división. Únicamente cuando el numerador es
múltiplo del denominador el resultado será un número natural, como = 2 N y en
caso contrario no será número natural. Luego como...