Algebra clasica

ALGEBRA CLASICA
J. A. Vargas
June 19, 2006
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Pr¶ologo
Al iniciarse el siglo XXI, es cada vez mayor la cantidad y calidad de
material que deben dominar los estudiantes de Matem¶aticas a nivel de
licenciatura, independientemente de sus planes a futuro. Esto es particu-
larmente cierto en lo que respecta al ¶algebra.
El presente libro intenta cubrir ese material agrupado en cincocap¶³tulos
correspondientes a grupos, anillos, teor¶³a de Galois, ¶algebra lineal y temas
complementarios. La situaci¶on ideal para quien aspire a adquirir una s¶olida
base algebraica, para despu¶es completar estudios de postgrado, es que
dedique un semestre a cada uno de los primeros cuatro cap¶³tulos del libro,
de manera que tenga tiempo de adquirir el lenguaje, digerir los m¶etodos y
resultadosaqu¶³ presentados; as¶³ como de interactuar con los problemas
enunciados. Tambi¶en es posible dise~nar cursos para un a~no de ¶algebra
bas¶andose en este libro; tal vez omitiendo algunas secciones.
El quinto cap¶³tulo puede ser usado como fuente para exposiciones de los
alumnos o para lecturas adicionales.
Este es un proyecto ambicioso, que requiere de bastante trabajo tanto
del alumno comodel profesor. Por otro lado, cada vez hay m¶as alumnos y
profesores competentes capaces de cubrir el material aqu¶³ incluido.
El autor con¯esa su mala intenci¶on de poner directamente en manos de
alumnos destacados, ideas y retos que sus profesores de licenciatura tal vez
no quieran darles.
El nombre del libro, Algebra Cl¶asica, concuerda con el criterio usado para
la elecci¶on de los temasa tratar y de su profundidad. El mayor prerequisito
para su comprensi¶on, es el inter¶es por el tema, junto con un curso previo
de ¶algebra lineal elemental.
Jos¶e Antonio Vargas M.
CIIDIR-Oaxaca, IPN
Oaxaca, Oax. M¶exico
Junio, 2006
iv
Contenido
1 Grupos 1
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 De¯niciones y Primeros Resultados . . . . . . . . . .. . . . 3
1.3 Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Mor¯smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Conjugaci¶on y Automor¯smos . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Acciones de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 El Grupo Sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Productos Directos ySemidirectos . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Solubilidad y Nilpotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.11 Series de Composici¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.12 Generadores y Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13 Grupos Abelianos Finitamente Generados . . . . . . . . . . 411.14 Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Anillos 49
2.1 De¯niciones y Primeros Resultados . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Funciones Aritm¶eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Mor¯smos e Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Anillos Conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Localizaci¶on . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Anillos Euclideanos, Principales y de Factorizaci¶on ¶Unica . 64
2.7 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8 Polinomios Sim¶etricos, Resultante y Discriminante . . . . . 79
2.9 M¶odulos y Anillos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.10 Series Formales de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
2.11 Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
vi Contenido
3 Campos y Teor¶³a de Galois 93
3.1 Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Cerradura Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . ....