Algebra Conjuntos 2

2. Conjuntos
2.1 Introducción
El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio
de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal, desde los
primeros años de formación del hombre. Desde el momento que el ser humano tomó entre sus
manos un puñado de piedras u observó un grupo de animales, tomó conocimiento del "conjunto".Sin embargo, por tratarse de conceptos matemáticos debemos fijar con exactitud el significado de
cada término para no dar lugar a contradicciones o interpretaciones erróneas.

2.2 Determinación de conjuntos

2.2.1 Lenguaje Simbólico - Notación
Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos,
tendremos en cuenta las siguientes convenciones:
a)
b)
c)
d)Los conjuntos se designan con letras mayúsculas.
Los elementos que forman el conjunto se encierran entre llaves.
Los elementos se designan con letras minúsculas.
Para indicar que un elemento pertenece al conjunto se escribe el signo ∈. Para indicar que
un elemento no pertenece a cierto conjunto, se escribe el signo ∉.
Entonces, si tenemos un conjunto A formado por los elementos a, b y c,escribimos:
A= {a,b,c}
En este caso, al nombrar todos los elementos que forman el conjunto, lo estamos definiendo
Por extensión.
Así, por ejemplo, para definir al conjunto B formado por los elementos 1, 2 y 3, lo haríamos del
siguiente modo:
B={1,2,3}
Notamos, sin embargo, que dicho conjunto está formado por los números naturales menores a
4. Podemos, sabiendo esto, definir este conjunto Por comprensión,es decir mencionando la
característica que define sus elementos. De este modo, representamos:
B={x∈N/x<4}

2 Conjuntos

Donde N representa el conjunto de los números naturales.
De este modo, podemos dar la siguiente:

Definición
Un conjunto se determina por extensión si y sólo si se enumeran todos los
elementos que lo constituyen. Un conjunto se define por comprensión, si y sólo si
se da lapropiedad que los caracteriza.

El conjunto cuyos elementos verifican la propiedad P se indica:
A = { x ∈ U / P(x) }
o más brevemente, si U está sobre entendido:
A = { x / P(x) }
y se lee "A es el conjunto formado por los elementos x, tales que P(x).

2.2.2 Lenguaje Gráfico - Diagramas
Para la representación gráfica fijamos, también, algunas convenciones, a saber:
a) Los conjuntos se representan por unacurva simple cerrada.
b) Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.
c) Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la
curva.
d) Ningún punto se representa sobre la curva.
•

Ejemplo:
A
A = {2, 4, 6, 8}

•

a
•

a=2
b=3
c=4

d=5
e =6
f=7

g=8

•

e
•

g

2.2.3 Conjuntos infinitos
Supongamos el siguiente conjuntodefinido por comprensión:
A = { números enteros pares }

c

b
•

d
•

f

Andrés J. Bilstein 3

Nos resulta imposible enumerar los elementos del conjunto pues no tiene un último elemento,
decimos entonces que dicho conjunto es un conjunto infinito.
2.2.4 Conjuntos especiales
Vamos a extender ahora nuestra noción intuitiva de conjunto a los casos de carencia
de elementos y de unicidad de elementos,mediante la introducción de los conjuntos vacío y
unitario.
Supongamos el siguiente conjunto definido por comprensión:
A = { x son los meses de 32 días }
Si intentáramos definir dicho conjunto por extensión, enseguida nos daríamos cuenta que no
existe ningún elemento que cumpla con la característica enunciada. Por lo tanto, dicho conjunto, es
el Conjunto vacío.
El Conjunto vacío estácaracterizado por una propiedad o función proporcional que se convierte
en proposición falsa cualquiera sea el valor de x. Designaremos con el símbolo ∅ al conjunto
vacío, y podemos definirlo simbólicamente así:
∅={x/x≠x}
En este caso, la propiedad relativa a x es P (x) : x ≠ x, la cual resulta falsa cualquiera que sea x.
Supongamos ahora al siguiente conjunto definido por comprensión:
A = { x / x son los...