Algebra - conjuntos, funciones y relaciones

´ a Notas de Algebra B´sica I
Carlos Ruiz de Velasco y Bellas Departamento de Matem´ticas, Estad´ a ıstica y Computaci´n o Facultad de Ciencias Universidad de Cantabria 14 de septiembre de 2006

2

Cap´ ıtulo 1

Conjuntos, Funciones, Relaciones
1.1.
1.1.1.

Conjuntos
Las relaciones de pertenencia, igualdad e inclusi´n o

Se supondr´ que todos poseemos una idea intuitiva de lanoci´n de cona o junto y, por tanto, se adopta un punto de vista un tanto ingenuo respecto de ´ste concepto. Diremos que un conjunto es una colecci´n bien determinada e o de objetos (posiblemente vac´ ıa). Si a es un objeto de un conjunto A, se escribe a ∈ A y se dice que a pertenece al conjunto A, o que a est´ en el conjunto A o que a es un a elemento del conjunto A; la negaci´n de esta relaci´n seindica a ∈ A; o o / que se lee a no pertenece al conjunto A, o a no est´ en el conjunto a A o a no es un elemento del conjunto A. Notas y ejemplos 1.1 1. En las matem´ticas se utilizan conjuntos de objetos matem´ticos tales a a como conjuntos de n´meros, conjuntos de polinomios, conjuntos de u puntos o de rectas, etc; pero con el fin de aclarar los conceptos al principiante, puede ser util consideraren los ejemplos conjuntos integrados ´ por objetos comunes en la vida diaria. 2. Los elementos de un conjunto pueden ser, a su vez, conjuntos de elementos de otros conjuntos. Por ejemplo, mediante un proceso elemental de abstracci´n, podemos pensar que una biblioteca es un conjunto o de libros, que un libro es el conjunto de sus p´ginas, que una p´gina a a de un libro es el conjunto de sus l´ıneas de texto, etc. 3

4

CAP´ ITULO 1. CONJUNTOS, FUNCIONES, RELACIONES 3. Denotemos por Z el conjunto de (todos) los n´meros enteros. Se veriu fican las relaciones 1492 ∈ Z, −307 ∈ Z, √ 3 ∈ Z, 2 ∈ Z 7

4. Consideremos el conjunto S de los n´meros reales x que satisfacen la u ecuaci´n x2 − 25 = 0. Se cumplen: o • 5 ∈ S, • −5 ∈ S y • si r ∈ S, entonces r = −5 o r = 5. Esto quiere decir que 5 y−5 son elementos del conjunto S, y que 5 y −5 son los unicos elementos del conjunto S. ´ 5. Consideremos el conjunto V de los n´meros reales x que verifican la u 2 + 4 = 0. ¿Cu´les son los elementos de V ? relaci´n x o a 6. Sea P el conjunto de los n´meros primos. Se verifican las relaciones u 7 ∈ P, 37 ∈ P, 12 ∈ P, −16 ∈ P Definici´n 1.2 Un conjunto A es igual a un conjunto B si para todo x, la orelaci´n x ∈ A equivale a la relaci´n x ∈ B. o o Esto viene a decir que dos conjuntos son iguales si, y s´lo si, poseen los o mismos elementos. La relaci´n “el conjunto A es igual al conjunto B” se o escribe A = B y la negaci´n de dicha relaci´n se escribe A = B. Por tanto, o o dados dos conjuntos A y B se tienen las equivalencias: A=B y A=B ⇐⇒ ⇐⇒ todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de Bpertenece a A alg´n elemento de A no pertenece a B o u alg´n elemento de B no pertenece a A u

Proposici´n 1.3 La relaci´n de igualdad entre conjuntos verifica las sio o guientes propiedades: 1 para todo conjunto A, A = A (propiedad reflexiva); 2 para todo conjunto A y todo conjunto B, si A = B, entonces B = A (propiedad sim´trica); e 3 para todo conjunto A, todo conjunto B y todo conjunto C, si A= B y B = C, entonces A = C (propiedad transitiva).

1.1. CONJUNTOS

5

Definici´n 1.4 Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si para o todo x, la relaci´n x ∈ A implica la relaci´n x ∈ B. Tambi´n se dice, en este o o e caso, que A est´ contenido en B o que A es una parte de B. La relaci´n a o A es subconjunto de B se escribe A ⊆ B. La relaci´n B contiene a A, o denotada B ⊇ A,equivale a A ⊆ B.

B A

Para todo x la relaci´n “x ∈ A ⇒ x ∈ B” es cierta o

Notas y ejemplos 1.5 1. El conjunto P de los n´meros primos es un subconjunto del conjunto u Z de los n´meros enteros; esto es, P ⊆ Z. u 2. El conjunto S de los n´meros reales x que satisfacen la ecuaci´n x2 − u o 25 = 0 es un subconjunto del conjunto T de los n´meros reales y que u satisfacen la ecuaci´n y 3 − 25y...