Algebra de boole

Algebra booleana
Algebra de booole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º "definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. 
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iníciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea lossiguientes postulados:
* Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

* Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

* Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (Aº B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

* Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

* Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.

* Inverso. Un valor booleano I es unelemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Definición
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:

Los teoremas básicos del algebra booleana
TEOREMA 1

Ley Distributiva

A (B+C) = AB+AC
A | B | C | B+C | AB | AC | AB+AC |A (B+C) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

TEOREMA 2

A+A = A

AA = A
A | A | A+A |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
A | A | AA |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1|

TEOREMA 3
Redundancia
A+AB = A
A | B | AB | X |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |

A (A+B) = A
A | B | A+B | X |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |

TEOREMA 4
0+A = A
Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra
A | B=0 | X |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |

1A = AEquivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1
A | B=1 | X |
0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 |

1+A = 1
A | B=1 | X |
0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 |

0A = 0
A | B=0 | X |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 |
Teorema fundamental
A continuación se presentan los principales teoremas del álgebra de Boole, los cuales son la base del trabajo subsecuente. Con lo visto hasta aquí es posibledemostrar dichos teoremas por cualesquiera de los siguientes métodos.
1. Demostración algebraica (empleando postulados y teoremas ya demostrados).
2. Gráficamente (por medio de los diagramas de Euler-Venn).
3. Por inducción perfecta (empleando tablas de verdad).

Aquí se empleará el método algebraico pues se considera la mejor manera de iniciarse en esta álgebra, además de que sólo se demostraránlos teoremas primales, pero aplicando las reglas de dualidad mencionadas anteriormente, se podrá obtener la parte dual.

Diseño de circuitos
Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una Salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor en su salida, 0 o 1.
Los circuitos lógicos...