Algebra de boole

ALGEBRA DO BOOLE
Definición.-
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:
Se denomina asíen honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito deldiseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

Como retículo
El álgebra de Boole es un retículo (A, , +), donde el conjunto A está formado por dos elementos A={0, 1}, como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley deConmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

Como anillo
El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo:
Grupo abeliano respecto a (+)
El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+):
1. (+) es una operación interna en A:

2. Es asociativa:

3. Tiene elemento neutro

4. Tiene elemento simétrico:

5. es conmutativa:

Grupo abeliano respecto a (·)
El conjunto A={0,1} es un Grupo abelianorespecto a ():
6. () es una operación interna en A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro

9. Tiene elemento simétrico:

10. es conmutativa:

El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a ():
6. () es una operación interna en A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro

9. Tiene elemento simétrico:

10. es conmutativa:

Distributivo
El conjunto A={0,1} es un Grupo abelianorespecto a (+) y () y es distributiva:
11. La operación (+) es distributiva respecto a ():

12. La operación () es distributiva respecto a (+):

Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ().

Leyes fundamentales
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas avariables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:

2. Ley de involución:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

6. Ley de cancelación:

7. Leyes de De Morgan:

Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formadamediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.
| Adición | Producto |
1 | | |
2| | |
3 | | |
4 | | |
5 | | |
6 | | |
7 | | |
8 | | |
9 | | |

Otras formas de notación del álgebra de Boole
En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.
Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la mismadenominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}
Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

En su aplicación a la lógica se emplea la notación y...