Algebra De Boole

María José Díaz Álvarez Sistemas Digitales

2. ÁLGEBRA DE BOOLE 2.1.- Definición. 2.2.- Operaciones básicas. 2.3.- Propiedades o teoremas del álgebra de Boole. 2.4.- Función Booleana / Lógica. 2.5.- Representación de función Booleana. 2.6.- Formas canónicas de una función Booleana. 2.7.- Pasos entre formas canónicas.

2.1.- DEFINICIÓN. Un álgebra de Boole es aquella que utiliza variables quesólo pueden tomar 2 valores llamadas variables booleanas. A los dos valores diferentes de una variable booleana se les codifica con los bits “0” y “1”. Estos valores no representan dígitos numéricos, sino que representan dos estados distintos de un dispositivo.

2.2.- OPERACIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE. OPERACIONES LÓGICAS. • La suma lógica: Representa la unión de dos conjuntos (AUB). 1 0AóBóAyB=1 AyB=0 Circuito eléctrico A +V c 0 1 0 1 X 0-Apagada. 1-Encendida.

Supuestas dos variables lógicas A y B. A+B=

La suma lógica de dos variables vale 1 cuando A ó B ó ambas sean 1. Tabla de verdad A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+B c 0 1 1 1

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•

Producto lógico: Representa la intersección de dos conjuntos (A Ω B).

Supuestas dos variableslógicas A y B. A·B 1 0 T. V A 0 0 1 1 • B 0 1 0 1 A·B c 0 0 0 1 c +V 1 1 A AyB=1 AóB=0 Circuito eléctrico 0 B 0 0-Apagada. 1-Encendida. X

Inversión: La inversión se define para una sola variable y se puede representar como A o A’.

A vale 1 cuando A = 1 es decir cuando A = 0. A vale 0 cuando A = 0 es decir cuando A = 1. T. V A A 0 1 • 1 0 +V A 0 A Circuito eléctrico 1 ReceptorRepresentación gráfica de variables y funciones. Los conodiagramas.
1 1

A 0 B 0 A+B 1 B 0 A·B 1
0 10

2.3.- TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE. • • • • Teorema 1: El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano es otra variable del sistema y este resultado es único. Este teorema se llama Ley interna. Teorema 2: Ley de involución: una variable doblementecomplementada es ella misma ( A ) = A. Teorema 3: Ley de idempotencia: A + A = A ; A · A = A. Teorema 4: Ley conmutativa: A + B = B + A ; A · B = B · A.
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•

Teorema 5: Ley asociativa (A + B) + C = A + (B + C) (A · B) · C = A · (B · C)

•

Teorema 6: Ley distributiva

A ·(B + C) = (A · B) + (A · C) A + ( B · C) = (A + B) · (A + C)

•Teorema 7: Ley de absorción

A + AB = A A · (A + B) = A

•

Teorema 8: Leyes de morgan

A+B=A·B A·B=A+B

Todos estos teoremas pueden demostrarse haciendo uso de las tablas de verdad. X+0=X X·0=0 X+1=1 X·1=X X+X=1 X·X=0

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FUNCIÓN BOOLEANA / LÓGICA.

Una función booleana es un conjunto de variables relacionadas entre sí mediante los tres operadores lógicos. Una funciónbooleana es también una variable booleana.

2.5.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS. • Forma algebraica general:

F (A, B, C, D) = A + ABC + ABCD Es la combinación de variables relacionadas por las operaciones lógicas. Esta forma de representación tiene el inconveniente de que no es única, pudiendo haber infinitas representaciones para una misma función. • Mediante la tabla de verdad:

Son tablasen las cuales figuran todas las combinaciones posibles de las variables de entrada y el valor correspondiente de la función para cada una de ellas. Este tipo de representación elimina el inconveniente de la forma anterior ya que toda función tiene una única tabla de verdad.

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Una tabla de verdad, consta de tantas columnas de entrada comovariables tenga la función y una única columna de salida. Para obtener la tabla de verdad por el método de columnas auxiliares para obtener la función de salida, es muy aconsejable simplificar al máximo la función dada. Ejemplo Obtener la tabla de verdad de F (A, B, C, D) = (A + BC + D) (A + BC + CD) (AB) = 0 = (A + ABC + ACD + BC + BD0 + DA + DBC + DC) (ABAB + ABC + ABCD + ABC + ADB + DBAC 1 + ABCD)...