Algebra De Boole

Álgebra de Boole
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que vigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla comoparte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX.
[pic] [pic] [pic]
Definición
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operadorbooleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
• Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A paratodos los posibles valores de A y B.
• Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Identidad. Un valor booleano I se dice que es unelemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
• Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Un álgebra de Boole es una tripleta [pic]. Donde [pic], + y [pic] son operaciones internas en [pic]y además para cualquier [pic] se cumplen lossiguientes axiomas:
1. Propiedad conmutativa:
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2. Propiedad asociativa:
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3. Propiedad distributiva:
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4. Propiedad de los neutros. Existen [pic]tales que:
[pic]
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5. Propiedad de los opuestos. Existe [pic]tal que:
[pic]
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Como retículo
Como retículo presenta las siguientes propiedades, lasleyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:
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2. Ley de Asociatividad:
[pic]
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3. Ley de Conmutatividad:
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4. Ley de Cancelativo
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Operaciones
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen variasoperaciones, veamos las más fundamentales:
Operación suma
|a |b |a + b |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
[pic]
Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.
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Si uno de los valores de a o b es 1, elresultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.
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Operación producto
|a |b |a |
| | |[pic]b|
|0 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|1 |0 |0 |
|1 |1 |1 |

La operación producto ([pic]) asigna a cada par de valoresa, b de A un valor c de A:
[pic]
Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores
[pic]
Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.
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Operación...