Algebra de boole

introducción al álgebra de Boole
Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés, presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también componentes lógicos.
Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan los dosestados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc...
Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomarlos valores 0 y 1. El conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole, ya que fue George Boole el que desarrolló las bases de la lógica matemática.
Operaciones lógicas básicas
Sea un conjunto formado por sólo dos elementos que designaremos por 0 y 1. Llamaremos variables lógicas a las que toman sólo los valores del conjunto, es decir 0 o 1.
En dichoconjunto se definen tres operaciones básicas:
SUMA LOGICA:
Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente tabla:
a b a+b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

PRODUCTO LOGICO:
Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente tabla:
a b a*b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
NEGACION LOGICA:
Denominada también operación"N" (NOT). Esta operación responde a la siguiente tabla:
a a'
0 1
1 0
Propiedades del álgebra de Boole
Las propiedades del conjunto en el que se han definido las operaciones (+, *, ') son las siguientes:
PROPIEDAD CONMUTATIVA:
De la suma: a+b = b+a
Del producto: a*b = b*a
PROPIEDAD ASOCIATIVA:
De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Del producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
LEYESDE IDEMPOTENCIA:
De la suma: a+a = a ; a+a' = 1
Del producto: a*a = a ; a*a' = 0
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b) * (a+c)
LEYES DE DE MORGAN:
(a+b+c)' = a'*b'*c'
(a*b*c)' = a'+b'+c'
Otras operaciones lógicas
A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otrasoperaciones booleanas, las cuales son:

NAND, cuya tabla correspondiente es:
a b (a*b)'
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
NOR, cuya tabla correspondiente es:
a b (a+b)'
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
XOR, también llamada función OR-EXCLUSIVA. Responde a la tabla:
a b a(+)b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Compuertas lógica
Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2salidas (puede darse el caso de proporcionarse la salida y su negada). En todos los símbolos las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha.
Estas puertas las podemos encontrar empaquetadas dentro de distintos circuitos integrados. Por ejemplo, para la familia lógica TTL tenemos las siguientes referencias:

54/74 (LS) 00 Cuádruple puerta NAND de dos entradas54/74 (LS) 02 Cuádruple puerta NOR de dos entradas
54/74 (LS) 04 Séxtuple puerta NOT
54/74 (LS) 08 Cuádruple puerta AND de dos entradas
54/74 (LS) 10 Triple puerta NAND de tres entradas
54/74 (LS) 11 Triple puerta AND de tres entradas
54/74 (LS) 20 Doble puerta NAND de cuatro entradas
54/74 (LS) 21 Doble puerta AND de cuatro entradas54/74 (LS) 27 Triple puerta NOR de tres entradas
54/74 (LS) 30 Puerta NAND de ocho entradas
54/74 (LS) 32 Cuádruple puerta OR de dos entradas

Las puertas lógicas más frecuentes, baratas, y fáciles de encontrar son las NAND. Debido a esto se suelen implementar circuitos digitales con el mayor número de dichas puertas.
Hay que mencionar en este punto que los...