algebra de boole

María José Díaz Álvarez
Sistemas Digitales

2. ÁLGEBRA DE BOOLE
2.1.- Definición.
2.2.- Operaciones básicas.
2.3.- Propiedades o teoremas del álgebra de Boole.
2.4.- Función Booleana / Lógica.
2.5.- Representación de función Booleana.
2.6.- Formas canónicas de una función Booleana.
2.7.- Pasos entre formas canónicas.

2.1.- DEFINICIÓN.
Un álgebra de Boole es aquella que utilizavariables que sólo pueden tomar 2 valores llamadas variables
booleanas.
A los dos valores diferentes de una variable booleana se les codifica con los bits “0” y “1”. Estos valores
no representan dígitos numéricos, sino que representan dos estados distintos de un dispositivo.

2.2.- OPERACIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE. OPERACIONES LÓGICAS.
•

La suma lógica: Representa la unión de dosconjuntos (AUB).

Supuestas dos variables lógicas A y B.
A+B=

1

AóBóAyB=1

0

AyB=0

La suma lógica de dos variables vale 1 cuando A ó B ó ambas sean 1.
Tabla de verdad
A

B

0

0

A+B c

1

1

1

0

1

1

1

1

0-Apagada.

A

0

0

Circuito eléctrico

1-Encendida.

0
1

+V

0

X

1
c

1

María José Díaz Álvarez
Sistemas Digitales•

Producto lógico: Representa la intersección de dos conjuntos (A Ω B).

Supuestas dos variables lógicas A y B.
A·B

1

AyB=1

0

AóB=0

T. V

Circuito eléctrico

A
0

0

0

0

1

0

1

0

0

1
•

B

A·B c

1

1

0-Apagada.

A

0

B

0

+V

1-Encendida.
X

1

1

c

Inversión: La inversión se define para una sola variable y sepuede representar como A o A’.

A vale 1 cuando A = 1 es decir cuando A = 0.
A vale 0 cuando A = 0 es decir cuando A = 1.
T. V

Circuito eléctrico
A

A A

1

0

1

+V

Receptor

1

0

•

Representación gráfica de variables y funciones. Los conodiagramas.

A

0

1

A 0
1

B 0
A+B 1
10

B 0
A·B 1
0

2.3.- TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.
•

Teorema 1:El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema
booleano es otra variable del sistema y este resultado es único. Este teorema se llama Ley interna.

•

Teorema 2: Ley de involución: una variable doblemente complementada es ella misma ( A ) = A.

•

Teorema 3: Ley de idempotencia: A + A = A ; A · A = A.

•

Teorema 4: Ley conmutativa: A + B= B + A ; A · B = B · A.
2

María José Díaz Álvarez
Sistemas Digitales

•

Teorema 5: Ley asociativa (A + B) + C = A + (B + C)
(A · B) · C = A · (B · C)

•

Teorema 6: Ley distributiva

A ·(B + C) = (A · B) + (A · C)
A + ( B · C) = (A + B) · (A + C)

•

Teorema 7: Ley de absorción

A + AB = A
A · (A + B) = A

•

Teorema 8: Leyes de morgan

A+B=A·B
A·B=A+B

Todosestos teoremas pueden demostrarse haciendo uso de las tablas de verdad.
X+0=X

X+1=1

X+X=1

X·0=0

X·1=X

X·X=0

2..4-

FUNCIÓN BOOLEANA / LÓGICA.

Una función booleana es un conjunto de variables relacionadas entre sí mediante los tres operadores
lógicos.
Una función booleana es también una variable booleana.

2.5.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS.
•

Forma algebraicageneral:

F (A, B, C, D) = A + ABC + ABCD
Es la combinación de variables relacionadas por las operaciones lógicas. Esta forma de representación
tiene el inconveniente de que no es única, pudiendo haber infinitas representaciones para una misma
función.
•

Mediante la tabla de verdad:

Son tablas en las cuales figuran todas las combinaciones posibles de las variables de entrada y el valorcorrespondiente de la función para cada una de ellas. Este tipo de representación elimina el inconveniente
de la forma anterior ya que toda función tiene una única tabla de verdad.

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Sistemas Digitales

Una tabla de verdad, consta de tantas columnas de entrada como variables tenga la función y una única
columna de salida.
Para obtener la tabla de verdad por...