Algebra de boole
Páginas: 7 (1659 palabras)
Publicado: 2 de diciembre de 2013
Trabajo de investigación
Yeison quinto bolaño
Cc: 1045504772
Curso: matemática discretas
Docente: diego Alberto López Cardona
Grupo: IDS-111-4 Matemáticas discretas I
Noviembre 22 2013
Turbo Antioquia
ALGEBRA DE CONMUTACIÓN.
1 Introducción. Una aplicación importante del álgebra booleana es el álgebra de circuitos de conmutación. Unconmutador es un dispositivo con dos estados que son cerrado y abierto y que se denotarán respectivamente 1 y 0.
En esta forma, un álgebra de circuitos de conmutación no es más que un álgebra booleana con dos elementos a saber: 0 y 1.
2 Notación. Se designará un conmutador con una sola letra: a, b, c, x, y etcétera.
Si dos conmutadores operan en tal forma que se abren y se cierransimultáneamente, se designarán con la misma letra. Si operan en tal forma que cuando uno está abierto el otro está cerrado, y viceversa entonces se designará uno de ellos con una letra y el otro por su complemento.
Un circuito consistente de los conmutadores x e y conectados en paralelo, se designará por x y, si los conmutadores están conectados en serie se designarán por xy. Para cadacircuito serie paralelo corresponderá una expresión algebraica y viceversa, tales expresiones involucran las operaciones ( ), (.), (´).
Gráficamente ocurre entonces lo siguiente:
Se dice que dos circuitos de conmutadores son equivalentes si para cualquier posición de los conmutadores de cada circuito o pasa la corriente a través de ambos circuitos (circuitos cerrados) o por ninguno pasa(circuitos abiertos).
Dos expresiones booleanas serán iguales sí sólo sí representan circuitos equivalentes.
Se tendrán en cuenta sólo los factores que determinan si un circuito está abierto o cerrado. Se desecharán problemas referentes a corriente, voltaje, resistencia, etc.
Ejemplo
La ley distributiva de ( ) respecto a (.) es:
x yz = (x y) (x z)
El correspondientecircuito de conmutación para cada miembro es:
Se puede observar que los dos circuitos están cerrados (la corriente pasa) si:
x está cerrado.
y, z están cerrados.
Los dos circuitos están abiertos (la corriente no pasa) si:
x e y están abiertos.
x y z están abiertos.
Por tanto los dos circuitos son equivalentes.SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS.
Introducción. El álgebra de circuitos es un álgebra booleana, por tanto todos los resultados obtenidos anteriormente serán válidos. En particular los teoremas y reglas relativas a simplificación de funciones booleanas se aplican en el álgebra de circuitos.
Un método general para simplificar un circuito consiste en encontrar primero lafunción booleana que representa el circuito, luego simplificar la función y finalmente dibujar el circuito de la función simplificada.
Surgen algunos problemas o inconvenientes e la simplificación de circuitos. A veces puede ser difícil o imposible decir, sólo por la forma de la función booleana, cual de varios circuitos es le más simple. El mejor circuito puede depender del costo relativo delalumbrado y de los conmutadores requeridos.
Si se usan solamente las leyes del álgebra booleana puede suceder que una posible simplificación pudiera ser omitida. También es posible que cierto paso sea más fácil de reconocer si se expresa en términos de una de las leyes duales en lugar de la otra; por lo anterior se sugiere otro método de simplificación que puede ser útil y es el siguiente: parasimplificar una función f se toma el dual de f y se simplifica la expresión resultante. Si se toma otra vez el dual, se obtiene de nuevo la función f pero en una forma diferente que, generalmente, será más simple que la original.
Ejemplo
Simplificar el siguiente circuito:
Solución.
El circuito está representado por la función:
f = c b a b' c d c d' a c' a' b...
Trabajo de investigación
Yeison quinto bolaño
Cc: 1045504772
Curso: matemática discretas
Docente: diego Alberto López Cardona
Grupo: IDS-111-4 Matemáticas discretas I
Noviembre 22 2013
Turbo Antioquia
ALGEBRA DE CONMUTACIÓN.
1 Introducción. Una aplicación importante del álgebra booleana es el álgebra de circuitos de conmutación. Unconmutador es un dispositivo con dos estados que son cerrado y abierto y que se denotarán respectivamente 1 y 0.
En esta forma, un álgebra de circuitos de conmutación no es más que un álgebra booleana con dos elementos a saber: 0 y 1.
2 Notación. Se designará un conmutador con una sola letra: a, b, c, x, y etcétera.
Si dos conmutadores operan en tal forma que se abren y se cierransimultáneamente, se designarán con la misma letra. Si operan en tal forma que cuando uno está abierto el otro está cerrado, y viceversa entonces se designará uno de ellos con una letra y el otro por su complemento.
Un circuito consistente de los conmutadores x e y conectados en paralelo, se designará por x y, si los conmutadores están conectados en serie se designarán por xy. Para cadacircuito serie paralelo corresponderá una expresión algebraica y viceversa, tales expresiones involucran las operaciones ( ), (.), (´).
Gráficamente ocurre entonces lo siguiente:
Se dice que dos circuitos de conmutadores son equivalentes si para cualquier posición de los conmutadores de cada circuito o pasa la corriente a través de ambos circuitos (circuitos cerrados) o por ninguno pasa(circuitos abiertos).
Dos expresiones booleanas serán iguales sí sólo sí representan circuitos equivalentes.
Se tendrán en cuenta sólo los factores que determinan si un circuito está abierto o cerrado. Se desecharán problemas referentes a corriente, voltaje, resistencia, etc.
Ejemplo
La ley distributiva de ( ) respecto a (.) es:
x yz = (x y) (x z)
El correspondientecircuito de conmutación para cada miembro es:
Se puede observar que los dos circuitos están cerrados (la corriente pasa) si:
x está cerrado.
y, z están cerrados.
Los dos circuitos están abiertos (la corriente no pasa) si:
x e y están abiertos.
x y z están abiertos.
Por tanto los dos circuitos son equivalentes.SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS.
Introducción. El álgebra de circuitos es un álgebra booleana, por tanto todos los resultados obtenidos anteriormente serán válidos. En particular los teoremas y reglas relativas a simplificación de funciones booleanas se aplican en el álgebra de circuitos.
Un método general para simplificar un circuito consiste en encontrar primero lafunción booleana que representa el circuito, luego simplificar la función y finalmente dibujar el circuito de la función simplificada.
Surgen algunos problemas o inconvenientes e la simplificación de circuitos. A veces puede ser difícil o imposible decir, sólo por la forma de la función booleana, cual de varios circuitos es le más simple. El mejor circuito puede depender del costo relativo delalumbrado y de los conmutadores requeridos.
Si se usan solamente las leyes del álgebra booleana puede suceder que una posible simplificación pudiera ser omitida. También es posible que cierto paso sea más fácil de reconocer si se expresa en términos de una de las leyes duales en lugar de la otra; por lo anterior se sugiere otro método de simplificación que puede ser útil y es el siguiente: parasimplificar una función f se toma el dual de f y se simplifica la expresión resultante. Si se toma otra vez el dual, se obtiene de nuevo la función f pero en una forma diferente que, generalmente, será más simple que la original.
Ejemplo
Simplificar el siguiente circuito:
Solución.
El circuito está representado por la función:
f = c b a b' c d c d' a c' a' b...
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