Algebra de boole

1. Historia de el álgebra booleana:
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir WilliamRowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido como un libro más importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought o simplemente The Laws ofThought), publicado en 1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.
Al diseño, ya queteniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

2. . Álgebra de Boole:

También llamada álgebra booleana en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Sistema de elementos b={0,1} ylos operadores binarios (·) y (+) y (’) definidos de la siguiente forma:

A B A+B A·B A A’
0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1

OPERADOR + OPERADOR OR
OPERADOR · OPERADOR AND
OPERADOR ‘ OPERADOR NOT
Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definidoen éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

QUE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:
1.- PROPIEDAD CONMUTATIVA:
A + B = B + A
A · B = B · A
2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
A·(B+C) = A·B + A·C
A + B·C = (A+B)·(A+C)
3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES:
A + 0 = A
A· 1 = A
4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A:
A + A’ = 1
A · A’ = 0
PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin más que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.
CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B.
VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario delálgebra, ya sea constante o fórmula completa.

3. TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE:

TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único.
TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:
A+1 = 1
A·0 = 0
TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.
0’=1
1’=0
TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:
A+A=A
A·A=A
TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cadaelemento de B, se verifica:
(A’)’ = A
TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica:
A+A·B=A
A·(A+B)=A
TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:
A + A’·B = A + B
A · (A’ + B) = A · B
TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y
(·) Cumple la propiedad asociativa:
A+(B+C) = (A+B)+C
A·(B·C) = (A·B)·C

4. ÁLGEBRA BOOLEANA Y CIRCUITOSELECTRÓNICOS:

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir...