algebra de conjuntos



ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

1. Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la intersección () de conjuntos. 2. Existencia de neutros. El neutro de la unión es el conjunto vacío F , mientras que el neutro de la intersección es el conjunto universo U, ya que para cualquier conjunto arbitrario A, A U F= A y A U = A. 3. Conmutatividad. La unión y la intersección son conmutativas, ya que
para cualquier par
de conjuntos A, B: A U B = B U A y A ∩B = B ∩A

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4. Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A (B C) = (A B) C 5. Distributividad. La unión de conjuntos es distributivasobre la intersección, y viceversa, la intersección es distributiva sobre la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B C) = (A U B) (A U C) y A (B U C) = (A B) U (A C) 6. Existencia de complementos. El conjunto complemento Ac cumple con las propiedades deseadas: A U Ac = U y A Ac = F

Algunos de los enunciados anteriores pueden ser difíciles de obtener, orecordar, especialmente la distributividad, por ello, es conveniente tener en cuenta una herramienta gráfica en la cual estos enunciados se vuelven evidentes casi a simple vista:

2.2.1.1 DIAGRAMAS DE VENN
En la siguiente figura se muestran diagramas de Venn para los conjuntos A, B, A U B y A ∩ B

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A continuación se muestra el conjunto A y su complemento A .
c

Ejemplo.- En los siguientesdiagramas de Venn se ilustra la manera como pueden usarse los diagramas de Venn para ilustrar cada uno de los postulados y propiedades del álgebra de conjuntos. En este caso se usan para ilustrar la propiedad de distributividad de la unión sobre la intersección

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2.2.2

CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN

1. Para este ejemplo de álgebra de Boole, el conjunto B es el conjunto de todos los switches ointerruptores.
La operación suma de switches es la conexión en paralelo y la multiplicación de switches es la conexión en serie, como se muestra en la siguiente figura. Los valores que pueden tomar los Switches son sólo dos: {ON, OFF} o bien, {1,0}.

2. Existencia de neutros. El neutro de la suma, es un circuito abierto (un switch que siempre está abierto), mientras que el neutro del producto esun corto circuito (un switch que siempre está cerrado) 3. Conmutatividad. Evidentemente las conexiones en serie y en paralelo funcionan de la misma manera independientemente del orden de colocación de los switches que interconectan. 4. Asociatividad. Las conexiones en serie y en paralelo son asociativas, es decir, al conectar tres switches en paralelo, no importa cual par se conecte primero. Enforma similar pasa con la conexión de tres switches en serie. 5. Distributividad. La conexión serie es distributiva sobre la conexión en paralelo y la conexión paralelo es distributiva sobre la conexión en serie, en el sentido que se ilustra en la figura siguiente.

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Observación 1: Nótese que en la figura anterior se está suponiendo que el switch A se puede usar en dos lugares diferentes,esto es posible físicamente simplemente construyendo dos switches acoplados mecánicamente de manera que cuando uno esté abierto el otro también lo esté y cuando uno esté cerrado, el otro también se cierre. Observación 2: Jerarquía de operaciones.- En adelante, se utilizará la notación algebraica utilizada en la figura anterior, en la cual
se supone que cuando en una misma expresión aparecen sumas yproductos sin usar paréntesis se realiza primero el producto y luego la suma. Cuando se quiere alterar este orden de jerarquía de operaciones se usan paréntesis para indicar que la operación que está entre paréntesis se debe realizar primero. 6. Existencia de complementos. Se puede fabricar un switch A complemento de otro switch A simplemente acoplando mecánicamente ambos, para que cuando uno se...