Algebra de funciones


Sean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f ⋅ g está definida por
(f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x). El dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg

Ejemplo 3.4.
Sea f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2. Entonces (f⋅g)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4. El dominio de f es (−∞, ∞) y el dominio de g es (−∞, ∞). Por tanto el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = (−∞, ∞).Ejemplo 3.5.
Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f ⋅g)(x) = f(x) g(x) = | x |⋅5. El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3. Entonces el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = 3. Si x = -2, entonces (f ⋅ g)(-2) = f(-2) ⋅ g(-2) = |-2|5 = 2⋅5 = 10.

Sean f y g dos funciones y Df , Dg sus dominios respectivamente. Entonces la función f/g está definida por:
(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0
Eldominio de f /g es Df ∩ Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.
Ejemplo 3.6.
Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 – 1. Entonces (f/g) (x) = f(x) / g(x) = x + 4/(x2 – 1). El dominio de f y el de g son los números reales. La función g(x) = x2 – 1 es cero para x = 1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R – {-1, 1}
Ejemplo 3.7.
Si f(x) = x y g(x) = x−. Encuentre (f/g) (x).Solución:
El dominio de f es [0, ∞) y el dominio de g es (-∞, 0]. Entonces Df ∩Dg = {0}, pero g(x) = x− es cero para x = 0. Ahora el dominio de f/g es Df ∩Dg excluyendo los valores para los cuales g(x) es igual a cero. Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto vacío. De donde se tiene que la función (f/g)(x) = x / x− no tiene dominio.
Ejemplo 3.8
Sea f(x) = 24x− y g(x) = 3x + 1. Encuentre a) lasuma, b) la diferencia, c) el producto y d) la división de f y g.
Solución:
El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2] y el dominio de g es 3. En consecuencia la intersección de sus dominios es [-2, 2] y las funciones pedidas están dadas por
a) f(+g) (x) = 24x− + (3x + 1)
b) (f-g) (x) = 24x− - (3x + 1)
c) (f ⋅ g) (x) = (24x−) ⋅ (3x + 1)
d) (f ⋅ g) (x) = 24x− / (3x + 1)

Eldominio de (a), (b) y (c) es el intervalo [-2, 2]. En la parte (d) la función g(x) = 3x + 1 es cero si x = -1/3 y por lo tanto el dominio es {x | -2 ≤ x ≤ 2, x ≠ - 1/3}.
Composición de funciones
Sabemos que la notación “g(a)” significa el valor de la función g(x) cuando x = a; se obtiene al sustituir a por x, siempre que x aparezca en la expresión de g(x). Por ejemplo,
si g(x) = x3 + 2, entoncesg(a) = a3 + 1;
si g(x) = 2xx−, entonces g(a) = 2aa−
Si f(x) es una función, entonces g(f(x)) es la función que se obtiene al sustituir f(x) en lugar de x, siempre que ésta ocurra en la expresión de g(x). La función g(f(x)) es llamada la compuesta de g con f y se utiliza el símbolo operacional o para denotar la compuesta de g con f. Así (g o f) (x) = g(f(x)).
Si g(x) = x2 y f(x) = x + 2,entonces (g o f)(x) = g(f(x)) = (f(x))2 = (x + 2)2. ¿Cuál es el dominio de g o f? La siguiente definición nos da la respuesta,
Si f es una función de X en Y y g es una función de Y a Z, entonces la función compuesta g o f es la función de X a Z dada por
(g o f)(x) = g(f(x))
para cada x en X. El dominio de g o f es
Dgof = {x | x ε Df y f(x) ε Dg}

Ejemplo 3.9.
Sea f(x) = x + 3 y g(x) = 2x +x . Encuentre gof y especifique su dominio.
Solución:
Por las definiciones de gof, f y g, tenemos que
(gof) (x) = g(x + 3) = 2(x + 3) + 3x+
El dominio X de f es el conjunto de todos los números reales. Sin embargo (gof) (x) es un número real sólo si x ≥ -3. Por lo tanto el dominio de gof es el intervalo [-3, ∞).
También es posible calcular la composición de f con g. En este caso obtenemosprimero la imagen de x bajo g y luego aplicamos f a g(x). Esto nos da una función compuesta de Z a X denotada por fog. Por lo tanto por definición
(fog) (x) = f(g(x))
para cada x en Z.
Ejemplo 3.10.
Sean f(x) = x y g(x) = 2x – 3. Encuentre (fog) (x), (gof)(x) y sus dominios.
Solución:
Por las definiciones de fog, gof, f y g tenemos
(fog)(x) = f(g(x)) = f(2x – 3) = 23x−
El...