ALGEBRA_DE_VECTORES_2014 1

Algebra y Geometría Analítica

María Rosa Rodríguez - Graciela Clyde Abraham

ÁLGEBRA VECTORIAL
VECTORES
En esta unidad de trabajo definimos un nuevo concepto matemático, que se denomina
vector. Estableceremos las leyes y las propiedades que nos permitirán realizar operaciones
entre vectores. Para una mejor comprensión, se estudiarán primero en forma absoluta y
luego utilizando sistemas dereferencia.
Previamente, vemos el concepto de segmento orientado. Un segmento de recta queda
determinado por sus dos puntos extremos, pero cuando estos puntos están dados en cierto
orden, se dice que el segmento está orientado.
Definición


Un vector es todo segmento orientado. Un vector V queda determinado por dos puntos,
el primero se llama origen (A) y el segundo extremo (B), que se lee “vector V”,y lo
representamos mediante una flecha.


V
A

B

En consecuencia, un vector es un ente matemático que posee magnitud, dirección y
sentido.
La magnitud del vector está representada por la longitud del segmento orientado que lo
define, medida con una determinada unidad desde su origen A hasta su extremo B.
También, se le denomina módulo del vector y es un número positivo. La notación para el

módulo es mód V ó | V | ó bien V.
La recta que contiene al vector indica su dirección y su sentido está determinado por el
extremo del vector (punta de la flecha).
Todos los vectores situados sobre una misma recta o rectas paralelas tienen la misma
dirección. Mientras que, sobre cada recta hay dos sentidos opuestos.
Observación 1: Cada vector queda perfectamente definido por los tres elementos quelo
caracterizan, modulo, dirección y sentido y no contiene otra información acerca de
cantidad física alguna que eventualmente pudiera describir.

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Observación 2: Cuando el módulo de un vector es nulo, desaparece como vector ya que su
dirección y sentido quedan indefinidos, y su gráfico se reduce a un punto. Porconvención

se lo denomina vector nulo y se lo indica con 0 .

LEYES OPERATIVAS
Son las leyes que reglan las operaciones entre vectores.
Igualdad de Vectores:

 
A  B significa que los vectores



A y B

tienen el mismo

módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Como todas las rectas paralelas entre sí tienen la
misma dirección, entonces un vector no se modifica


A

si se lo traslada,paralelamente a sí mismo, a
cualquier punto del espacio. Con este criterio, todos


B

los vectores pueden ser traslados de manera que
tengan un mismo origen O. La definición de igualdad
dada, corresponde a los llamados vectores libres, que
son los que interesan en el cálculo vectorial.

Adición y Sustracción de Vectores

  
 A B  S

La suma de dos vectores es otro vector que se obtienecolocando el



extremo del primero ( A ) como origen del segundo ( B ) y luego S se obtiene


uniendo el origen de A con el extremo de B .


B


A


A

 
A B

B

Sean


 

A, B y A  B

entonces

Al mismo resultado se llega tomando los


vectores A y B con el mismo origen O y
definiendo la suma como la diagonal, que
pasa por O, del paralelogramo construido
sobre los vectores dados.

losrespectivos módulos de los vectores

 
 2
2
2
A  B  A  B  2 A B cosα

vectores.
2


 

A , B y A B ,

siendo α el ángulo entre los dos

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Además, se cumple la desigualdad
únicamente cuando

 


A B  A  B

donde vale la igualdad

α = 0.

Por lo tanto, el módulo de la suma de dos vectores es menor oigual que la suma de los
módulos de los sumandos, siendo igual únicamente en el caso de tener los vectores la
misma dirección.
La adición goza de las siguientes propiedades:


Propiedad Conmutativa

Gráficamente se observa que

   
A B  B  A
 
 
A B y B  A

quedan representados por la misma diagonal del
paralelogramo.


Propiedad Asociativa

  
 
 
 
A  B  C  ( A  B)...