Algebra De Vectores

J.A DÁVILA BAZ - J. PAJÓN PERMUY

CÁLCULO VECTORIAL

UNIDAD DIDÁCTICA I:
CÁLCULO VECTORIAL.

TEMA II
ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS

2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores.
Un vector (en Geometria) es un ente geométrico definido por un segmento orientado
de recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadas magnitudes
vectoriales. Otra definición (másMecánica) es la de una cantidad que tiene magnitud,
dirección y sentido. Otra (Matemática); elemento de un espacio vectorial (ver 2.3). En
Mecánica, una magnitud es vectorial cuando en su determinación necesitamos,
además de su medida (módulo), una dirección y un sentido.
Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una
punta de flecha. Queda determinado su módulo por lalongitud del segmento; su dirección
por la recta a que pertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se
le llama punto de aplicación.
Para la escritura de vectores se utiliza la notación adoptada por la Unión Internacional
de Física Pura y Aplicada (U.I.F.P.A.), representando estas magnitudes vectoriales por letras
negritas, por ejemplo; V (en negrita); y la representaciónde su módulo por la
correspondiente letra cursiva V o bien la notación
V
. Cuando definamos el vector por su
origén (O) y extremo (O¨) convendremos en representarlo así: OO¨ o también mediante la
diferencia simbólica O´- O . Sin embargo, en las figuras optamos por representarlos como
normalmente se hace en un manuscrito o en la pizarra del aula, es decir, con la flecha
indicativa de vector sobrela letra que representa a la magnitud vectorial correspondiente.
Los vectores en general pueden ser:
Libres.-

Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puede trasladar su origen a cualquier
punto del espacio, siempre que conserve su módulo y sentido y mantenga paralela su dirección.
Ej. momento de un par.

Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Unvector deslizante solo puede trasladar
su origen a lo largo de su recta de aplicación. Ej. la fuerza aplicada a un sólido.

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Fijos.-

MECÁNICA GENERAL

UNIVERSIDAD DE HUELVA - E.P.S. DE LA RÁBIDA

Un vector fijo es el de origen fijo. Ej. la intensidad del campo gravitatorio en un punto dado.

Comparativamente pueden ser:
Vectores equipolentes.-

Vectores iguales.-

Son los que tienenigual módulo, la misma dirección o direcciones paralelas y el
mismo sentido. La equipolencia es una relación de equivalencia, que establece una
partición del conjunto de los vectores en clases de equivalencia.
Son los que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

Vectores equivalentes.- Son los que producen el mismo efecto.

Atendiendo a lo que representan pueden ser:
Vectores polares.-

Son losque representan magnitudes físicas relacionadas con una traslación, como la
velocidad lineal por ejemplo.

Vectores axiales.-

Son los que representa magnitudes físicas ligadas a una rotación, como el vector velocidad
angular.

Fijado un sistema de referencia, se denominan componentes de un vector V los valores
de las proyecciones del vector sobre los ejes del sistema de referencia, por ejemplo;Vx,Vy,Vz.

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CÁLCULO VECTORIAL

2.2.- Espacio vectorial.
Recordemos algunas nociones estudiadas en álgebra.
Se llama n-tuple de números reales al conjunto ordenado de números reales.
x = (x1, x2,..., xn)
El conjunto de todas las n-tuples se representa por 8n y sus elementos reciben el nombre de vectores
y también puntos. Dentro de este conjunto se define una ley decomposición interna.
~x, y  8n
x + y = (x1, x2,..., xn) + (y1, y2,..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2., ..., xn + yn)
y una ley de composición externa sobre el cuerpo 8 de los números reales.
~x  8n, ~  8
 · x =  · (x1, x2,..., xn) = (· x1, · x2,..., · xn)
El conjunto 8n dotado de estas dos operaciones tiene estructura de espacio vactorial,
Las xi,(i = 1,2,...,n), se llaman coordenadas del...