ALGEBRA DE VECTORES

1. ALGEBRA DE VECTORES.
Un vector (en Geometría) es un ente geométrico definido por un segmento orientado de recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadas magnitudes vectoriales. Otra definición (más Mecánica) es la de una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Otra (Matemática); elemento de un espacio vectorial.
En Mecánica, una magnitud es vectorial cuando ensu determinación necesitamos, además de su medida (módulo), una dirección y un sentido.

1.1. DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares. El vector determinado por el parordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.

Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C,podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.
Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores bidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una pareja de números reales.



VECTOR EN R2:

Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado denúmeros reales (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por:

La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos juntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a lasiguiente figura vemos:

VECTORES EN R3:

Un vector de R3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:

Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde hacía tenemos una representación del vector:

Y para cualquier vector en elespacio:
1.2. INTRODUCCIÓN A LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES.
a) Campo escalar:
Si a cada punto (x,y,z)de una region en el espacio se le puede asociar un escalar, v(x,y,z), hemos definido un campo escalar V en esta region. La funcion V depende, del punto y por ello se llama funcion exalar de punto.
Si el campo escalar no depende del tiempo se llama estacionario.
Recibe el nombre de superficieequiescalar o isoescalar, el lugar geometrico de los puntos del espacio en los que el campo escalar tieen el mismo valor. Las superficies equiescalares vienen determinadas por la expresion:
V(x,y,z)=ki (ki es una constante)
Estas superficies no pueden tener puntos comunes por la imposibilidad de que la funcion escalar en eiun mismo punto tenga diferentes valores.
Como ejemplos de campo escalarespodemos citar el campo de temperaturas de un solido o el campo de presiones de un gas.
b) Campo Vectorial:
Si a cada punto (x,y,z) de una region del espacio se le puede asociar un vector E(x,y,z), queda definido un campo vectorial E en esta region. La funcion E depende, del punto y por ello se llama funcion vectorial de punto.
Si el campo vectorial no depende del tiempo se llama estacionario.En los campos vectoriales se definen las lineas de fuerza o lineas de campo, como curvas tangentes en cada punto a los vectores definidos en ellos.
Decimos que un campo vectorial es uniforme cuendo tenemos el mismo calor del vector campo y la misma direccion y sentido en todos los puntos. Un campo uniforme esta representado, evidentemente, por lineas de campo paralelas y equidistantes.
Como...