Algebra diagonalizacion

Diagonalizaci´n (Esquema)
o
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Motivacion: En diversos ambitos de la ciencia, econom´ e inform´tica surge la necesidad
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a
de calcular eficientemente potencias de una matriz. Si la matriz esdiagonal el c´lculo es
a
inmediato, consiste elevar al exponente deseado los elementos de la diagonal. Si la matriz no
es diagonal pero es semejante a una diagonal, es decir que vista como lamatriz asociada
a una aplicaci´n lineal (endomorfismo) respecto de cierta base, existe otra base respecto de
o
la cual su expresi´n es diagonal, pues tambi´n es sencillo el c´lculo de sus potencias. A
oe
a
estas matrices se les denomina diagonalizables y a su reconocimiento y diagonalizaci´n
o
nos dedicaremos en este tema.
a) Un endomorfismo f : V −→ V es diagonalizable si existe una base B =[e1 , . . . , en ]
de V tal que f (ei ) = λi ei para todo i = 1, . . . , n, para ciertos escalares λ1 , . . . , λn ∈ K.
Esto significa en particular que en la expresi´n matricial
o
la matrizasociada es diagonal. Concretamente:

λ1 0
...
0
 0 λ2 0
...
0

 .
.
...
.
D= .
.
 .
 0
...
λn−1 0
0
...
0
λn

de f respecto de esa base B,








b) Unvector no nulo de V , v se dice que es un autovector del endomorfismo f con
autovalor λ ∈ K si f (v) = λ · v.
Por tanto, f es diagonalizable si y solo si existe en V una base de autovectores de f .
c) Sif es diagonalizable, A es la matriz de f respecto de cierta base B y B es una base
de autovectores e1 , e2 , . . . , en asociados a los autovalores λ1 , λ2 , . . . , λn entonces


λ1 0
...
0 0 λ2 0
...
0 


 .
.  = P −1 AP
..
. 
D= .
.
. 
 .
 0
...
λn−1 0 
0
...
0
λn
siendo P la matriz cuyas columna i-´sima son las coordenadas de ei en B.
e
d)Caracterizaciones: λ es autovalor de f equivale a cualquiera de las siguientes
afirmaciones:
1- Existe un vector no nulo v ∈ V tal que f (v) = λv.
2- Matricialmente, se verifica que AX = λX para alg´n...