Algebra, Ejercicios

U
N
E
X
P
O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA

25

´
Primer examen parcial de Algebra Lineal (25 %)
Apellidos y Nombres

Secci´n
o

Profesor

C´dula
e

Fecha: 03/12/2004

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE
TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE
Primera parte. Verdadero o Falso.
Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones.

(2 ptos. c.u.)

1. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces det(AAT ) ≥ 0.
2. Si A y B son dos matrices tales que AB es invertible, entonces A y B son invertibles.
3. Si A y B son matrices deorden m × n, entonces (A + B)T = AT + B T .
Segunda parte. Desarrollo.
Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.
1. Demuestre que

(3 ptos. c/u)

a. Si A1 , A2 , . . . , Ak son matrices invertibles, entonces A1 A2 · · · Ak es invertible y su
inversa es A−1 · · · A−1 A−1 .
2
1
k
b. Existe una unica matriz 0 de orden m × n tal que para toda matriz A deorden
´
m × n se cumple que A + 0 = A.
2. Dada la matriz





A=




1 −1 2 1 1
1 2 1 −1 2 

1 −1 0 2 1 

0 0 1 0 0 
1 3 1 3 2

Halle A−1 , si existe, y adj(A).

(5 ptos.)

1

3. Un departamento Gubernamental de Pesca proporciona tres tipos de alimento a un
lago en el que habitan peces de tres especies. Cada pez de la especie 1 consume,
por semana, unpromedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2
unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume, por semana, un promedio
de 3 unidades del alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento
3. El consumo semanal promedio por ejemplar de la especie 3 es de 2 unidades del
alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se
viertenen el lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2
y 55000 unidades del alimento 3. Si se supone que toda esta comida se consume,
¿cu´ntos ejemplares de cada especie pueden coexistir en el lago?
a
(4 ptos.)
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2x
4x
2x
−2x
4x

+
−
−
−
−

3y
3y
3y
6y
9y

− 2z
− z + 6w
+ 4w
− 3z − 4w
+ z + 10w

2(4 ptos.)
=
=
=
=
=

−4
10
8
10
22

U
N
E
X
P
O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

25

´
Primer Examen Parcial de Algebra Lineal (25 %)
Secci´n
o

Apellidos y Nombres
Profesor

C´dula
e

Fecha: 26/08/2005

LEACUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA
JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE
TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE
Primera Parte. Verdadero o Falso.
Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones.

(2 ptos. c.u.)

1. Si A y B son dos matrices tales que AB es invertible, entonces A y B son invertibles.
2. Si A es una matriz tal que A−1 = AT ,entonces det(A) = ±1.
Segunda Parte. Desarrollo.
Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.
1. Demuestre que

(4 ptos. c/u)

a. Si α1 , α2 , . . . , αk son n´meros reales y A es una matriz de orden m × n, entonces
u
(α1 + α2 + · · · + αk ) · A = α1 · A + α2 · A + · · · + αk · A.
b. Si A es una matriz invertible de orden n, entonces det[adj(A)] = [det(A)] n−1 .2. Dada la matriz




2 0 1 −7
 6 1 0 4 

A=
 8 −2 1 0 
4 1 0 2

Halle det(A) y A−1 .

(5 ptos.)

3. Una peque˜a compa˜´ constructora ofrece tres tipos de casas. El primer tipo de
n
nıa
casa requiere 3 unidades de concreto, 2 unidades de madera para canceler´ y 5
ıa
unidades de madera para estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5
y 4, 2, 6...