ALGEBRA ELEMENTAL

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA
DE LA VICTORIA
LA VICTORIA. ESTADO ARAGUA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

ÁLGEBRA ELEMENTAL
CURSO PREPARATORIO

LUIS E. CAPACE P.
OCTUBRE - 2006

Productos Notables:
Vamos a familiarizarnos con algunos productos de polinomios que son de uso
corriente.Ejemplo 1: Calculemos ( x + 2) 2
Por definición de cuadrado de una expresión ( x + 2) 2 = ( x + 2)( x + 2) . Luego,
x+2
x+2
x2 + 2x
2x + 4
x2 + 4x + 4

Por lo tanto ( x + 2 ) = ( x + 2)( x + 2) = x 2 + 4 x + 4
Ejemplo 2: Calculemos ( x + 5) 2 . Como ya sabemos,
x+5
x+5
x 2 + 5x
5 x + 25
2

Luego, (x + 5) = ( x + 5)( x + 5) = x 2 + 10 x + 25
Ejemplo 3:
Calculemos ahora, ( x + a) 2

x2 + 10 x + 25

2

x+a
x+a
x 2 + ax
ax + a 2

Luego,

x 2 + 2ax + a 2

(x + a )2 = x 2 + 2ax + a 2

Puedes observar que (x + a ) se calcula, de manera sencilla, sumando el cuadrado de x ( x 2 )
con el doble producto de a por x ( 2ax ) con el cuadrado de a (a 2 )
D
C
2

ax

x2

A

x

a2

a

ax

x

a

B
1

El área del cuadrado ABCD se puede calcular de dosformas:
2
El área del cuadrado ABCD es (x + a )
El área del cuadrado ABCD es x 2 + ax + ax + a 2 = x 2 + 2ax + a 2
Ejemplo 4:

(

)

Calculemos 2 x 2 + 3

(

)

2

2

Así 2 x 2 + 3 = (2 x 2 ) 2 + 2.3(2 x 2 ) + 32 = 4 x 4 + 12 x 2 + 9
Ejercicio : Desarrollar:
2
2
1. ( x + 1)
2. (2 x + 3)

(

4. y + 7
3

)

(

2

5. x + a
2

2⎞
⎛1
7. ⎜ x + ⎟
5⎠
⎝3Analicemos ahora otra situación:
Ejemplo 5: Calculemos (x − a )

Por lo tanto,

2

)

2 2

⎞
⎛3
8. ⎜ + x 2 ⎟
⎠
⎝4

2

3. (3x + a )

2

⎛ x 1⎞
6. ⎜ + ⎟
⎝ 2 3⎠

2

⎛ m 3 n 2 mn 4 ⎞
⎟
9. ⎜ 2 +
⎜ z
2 ⎟
⎝
⎠

2

2

x−a
x−a
x 2 − ax
− ax + a 2
x 2 − 2ax + a 2

(x + a )2 = x 2 − 2ax + a 2

Puedes observar que (x − a ) se calcula, de manera sencilla así, xcuadrado ( x 2 ) menos el
doble producto de a por x ( 2ax ) , más el cuadrado de a (a 2 )
x
C
D
2

(x − a )2
a( x − a)

a2

A
B
( x − a)
El área del cuadrado ABCD se puede calcular de dos formas:
El área del cuadrado ABCD = x 2
2
El área del cuadrado ABCD = ( x − a ) + a ( x − a ) + a ( x − a ) + a 2
= ( x − a ) + 2a ( x − a ) + a 2
2

= (x − a ) + 2ax − 2a 2 + a 2
2

= ( x − a )+ 2ax − a 2
2

2

Por consiguiente, x 2 = ( x − a ) + 2ax − a 2
( x − a ) 2 = x 2 − 2ax + a 2

de lo que se deduce que

2

(

)

2

Ejemplo 6: Calculemos 3 x 3 − 2
Así 3x 3 − 2 2 = 3x 3 2 − 2.2 3x 3 + 2 2

(

) ( )

( )

= 9 x − 12 x + 4
Ejercicio 2: Calcula los siguientes productos:
6

1. ( x − 5)

(

2.

)

2

4⎞
⎛2
7. ⎜ x − ⎟
3⎠
⎝5

2

(2 x −3)2

3. (5 x − a )

5.

2

4. x − 4
2

3

(x

⎛ x 1⎞
6. ⎜ − ⎟
⎝3 4⎠

2

−a

)

2 2

⎛2
⎞
8. ⎜ − x 3 ⎟
⎝5
⎠

2
2

⎛ a 3b 5 a 2 ⎞
9. ⎜
⎜ mn 3 − 6 ⎟
⎟
⎝
⎠

2

2

Con el siguiente ejemplo, veamos otro caso.
Ejemplo 7: Calculemos

(x − a )(x + a ) el calculo será como sigue:
x−a
x−a
x 2 − ax
+ ax − a 2

− a2

x2

Por lo tanto

(x − a )(x + a) = x 2 − a 2

Puedes observar que este tipo de producto se calcula de manera sencilla, como x al
cuadrado ( x 2 ) menos a al cuadrado (a 2 ) .

(
(3x

)(
)(3x

Ejemplo 8 : Calculemos 3x 2 − 5 y 3 3x 2 + 5 y 3

Así

2

− 5 y3

2

+ 5 y3

)
) = (3x ) − (5 y )
2 2

3 2

= 9 x 4 − 25 y 6

Ejercicio 3: Calcula los siguientes productos:

(

)(

)

1. ( y + 3)( y −3)

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
2. ⎜ − x ⎟⎜ + x ⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠

3. x 2 + p3 x 2 − p3

1 ⎞⎛ 3
1⎞
⎛3
4. ⎜ x 2 + ⎟⎜ x 2 − ⎟
5 ⎠⎝ 2
5⎠
⎝2

3 ⎞
3 ⎞⎛
⎛
5. ⎜ 2x3 − y 3 ⎟⎜ 2x3 − y 3 ⎟
5 ⎠
5 ⎠⎝
⎝

⎛
ab4 ⎞⎛ 5 2 ab4 ⎞
⎟
⎟⎜ a b c +
6. ⎜ a5b2 c −
⎜
c ⎟
c ⎟⎜
⎠
⎠⎝
⎝
3

Con los siguientes ejemplos definamos el siguiente caso:
Ejemplo 9: Calculemos: (x + 3)( x + 4)

x+3
x+4
x 2 + 3x
− 4...