Algebra Elemetal

§ 1 Lógica En estas notas establecemos qué son las matemáticas y cuáles son algunos de sus fundamentos. El estudio de la lógica nos proveerá el “esqueleto” sobre el cual iremos adhiriendo la “carne” que constituirá el cuerpo final de lo que se conoce como “matemática”. Este estudio ayudará luego al estudiante en éste y en cursos subsiguientes de matemáticas, de manera que comprenda mejor losmétodos y técnicas que habrán de ser presentadas. 1.1 ¿Qué es la matemática? El estudio de las matemáticas está subdividido en áreas llamadas estructuras o sistemas matemáticos. Es muy posible que durante los años de escuela superior el lector haya estudiado una o varias de estas áreas, como lo son el álgebra y la geometría. Toda estructura matemática está constituida por cuatro elementos esenciales; asaber: términos indefinidos o primitivos, términos definidos, axiomas o postulados y teoremas o proposiciones. Vamos a estudiar más en detalle estos cuatro elementos con el propósito de tener una idea más clara de qué es cada uno de ellos. (1.1.1) Definición: Un término indefinido o primitivo se refiere a un concepto intuitivamente sencillo o elemental por lo que no requiere de una definiciónformal ni detallada para poder tener una idea clara de a qué se refieren. (1.1.2) Ejemplos: 1. Los conceptos “palabra” y “letra”. Si insistimos en definir, formalmente, estos conceptos, obtendríamos el siguiente par de definiciones cíclicas: “Una palabra está compuesta por cierto número de letras previamente seleccionadas de acuerdo a un patrón aceptado”. “Una letra es un ente seleccionadopreviamente para componer una palabra, de acuerdo a un patrón aceptado”. 2. Los conceptos “colección” y “miembro”. Si insistimos en definir, formalmente, estos conceptos, obtendríamos el siguiente par de definiciones cíclicas: “Una colección es un conglomerado de miembros”. “Un miembro es uno de los objetos que pertenece a alguna colección”. (1.1.3) Definición: Un término definido es un concepto oterminología que no es tan elemental u obvio al sentido común y que, como consecuencia, requiere del establecimiento de una definición

2 formal para poder tener una idea clara que a qué se refieren. Ahora indicamos qué entendemos por una buena definición y cuáles son sus características. Una definición es una explicación establecida en lenguaje común, usando una serie de símbolos o signos previamenteexplicados, con el propósito de describir un concepto o terminología. Una buena definición debe poseer las siguientes propiedades: 1. Debe ser “reversible”. Esto es, cuando consista de dos grupos de palabras o símbolos conectados por palabras o frases como “es”, “son”, “si y sólo (o solamente) si”, etc., dichos grupos de palabras pueden colocarse en cualquiera de los dos lados de dichas frases, sincambiar el sentido o veracidad de lo que está establecido en la definición. 2. Debe ser “consistente”. Es decir, siempre que sea posible, una misma palabra usada en diferentes lugares dentro de la definición debe conllevar el mismo significado en cada lugar. 3. Debe de estar establecida usando términos indefinidos o términos definidos previamente. 4. Debe ser “concisa”, evitando cualquierredundancia. O sea, no deberán de usarse más de las palabras que sean necesarias para transmitir una idea. (1.1.4) Ejemplos: 1. La definición (1.1.1) es un ejemplo de una buena definición. Note cómo, en este caso, las palabras que aparecen antes y después de la frase “se refiere a” pueden ser intercambiadas sin alterar la validez de lo establecido en la definición. Es decir, esta definición pudo habersido establecida del siguiente modo: “Aquellos conceptos, intuitivamente sencillos y elementales, por lo que no requieren de una definición formal ni detallada, se refieren como términos indefinidos o primitivos”. Observe que el tiempo del verbo “referir” tuvo que ser cambiado así como otra ‘palabrería’ para cumplir con cuestiones gramaticales. Sin embargo, este detalle lingüístico menor no es de...