Algebra En Contexto Geometricos

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Guía Matemática
´
ALGEBRA
EN CONTEXTOS
´
GEOMETRICOS
´ Melgarejo
profesor: Nicolas

.cl

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´
Algebra
y geometr´ıa

1.

La geometr´ıa es una rama de la matem´atica que puede abordarse mediante el lenguaje abstracto del
a´lgebra, brindando un lenguaje general para resolver problemas. En esta gu´ıa abordaremos el an´
alisis de
f´ormulas de per´ımetros, ´
areas yvol´
umenes en relaci´on con la incidencia de la variaci´on de los elementos
lineales y viceversa, y la interpretaci´
on geom´etrica de los productos notables.

2.

Variaci´
on de ´
areas y vol´
umenes

En esta secci´
on analizaremos las variaciones de ´area y volumen de figuras y cuerpos geom´etricos desde
el punto de vista del ´
algebra, con lo que podremos generalizar algunos resultados eidentificar ciertos
comportamientos al modificar las variables implicadas.

2.1.

Rect´
angulo

Consideremos un rect´
angulo de lados x e y.

El per´ımetro P es la suma de sus lados, esto es:
P =x+y+x+y
= 2x + 2y
El ´area A o superficie de ´este rect´
angulo gen´erico es:
A = xy
Analicemos qu´e ocurre con el per´ımetro y el ´area si variamos sus lados.
2.1.1.

Cambio del per´ımetro al variar los ladosVeamos un caso particular aumentando los lados del rect´angulo al doble. En este caso los nuevos lados
ser´an 2x y 2y, entonces el nuevo per´ımetro P y ´area A son:
P = 2(2x) + 2(2y)
= 2(2x + 2y)
Como P = 2x + 2y, entonces:
P = 2P
En conclusi´
on, al aumentar ambos lados al doble, el per´ımetro aumenta al doble tambi´en.

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De modo general, si aumentamos ambos lados k veces obtenemosque los lados son kx y ky, por lo
tanto el nuevo per´ımetro P es:
P = 2(kx) + 2(ky)
= 2kx + 2ky
= k(2x + 2y)
Como P = 2x + 2y, entonces:
P = kP
Al aumentar o disminuir ambos lados k veces, el
per´ımetro aumenta o disminuye k veces tambi´en.
2.1.2.

Cambio del ´
area al variar los lados

Veamos lo que ocurre para el ´
area del rect´angulo al aumentar el largo y al doble y el ancho x al triple.
Losnuevos lados ser´
an 2y y 3x y su nueva ´area A es:
A = 3x · 2y
= 6xy
Pero como A = xy, podemos decir que:
A = 6A
Entonces el ´
area aument´
o seis veces.
Si ahora lo tratamos de modo general, digamos que el largo aumenta p veces y el ancho q veces, la
superficie ser´a:
A = qx · py
= pq · xy
Pero como A = xy, podemos decir que:
A = pq · A
En general, si los lados de un rect´angulo aumentan
odisminuyen p y q veces respectivamente, el ´area
aumenta o disminuye p · q veces tambi´en.

2.2.

Cuadrado

Pensemos en un cuadrado de lado x, como todos los lados miden lo mismo su per´ımetro P es:
P =x+x+x+x
= 4x

3

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El ´area o superficie de un cuadrado de lado x es A = x2

2.2.1.

Cambio del per´ımetro al variar los lados

Supongamos que el lado aumenta 3 veces, es decir que ahoramide 3x, entonces el nuevo per´ımetro P
es:
P = 4(3x)
= 12x
Como P = 4x, nos queda que P = 3P . De esta manera, al aumentar 3 veces el lado, el per´ımetro tambi´en
aumenta 3 veces. Es f´
acil comprobar que al amplificar por k el lado de un cuadrado, su per´ımetro tambi´en
variar´a en la misma proporci´
on.
Si el lado de un cuadrado aumenta o disminuye k
veces, el per´ımetro aumentar´a odisminuir´a k veces
tambi´en.
2.2.2.

Cambio del ´
area al variar los lados

Al aumentar o disminuir la longitud de su lado k veces tendremos que la nueva superficie A medir´
a:
A = (kx)2
= k 2 · x2
Como el ´area original era A = x2 , entonces:
A = k2 A
Al variar k veces el lado de un cuadrado, su ´area var´ıa
k 2 veces.

✎ Ejemplo
¿C´omo var´ıa el ´
area y per´ımetro de un cuadrado si su lado disminuye a lamitad?
Soluci´
on: Sabemos que el ´
area de un cuadrado var´ıa al cuadrado de la variaci´on de su lado, es decir, si la
variaci´on del lado es k veces, entonces la variaci´on del ´area es k 2 veces. En nuestro caso el lado disminuye
a la mitad, por lo tanto:
1
k=
2
Podemos desprender que la variaci´
on del ´
area es el cuadrado de este n´
umero:
k=

1
2

2

=

1
4

Por lo tanto el ´
area...