algebra factorizacion

FACTORIZACION DE POLINOMIOS CON FACTOR COMUN

No todo polinomio se puede descompones en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que solo son divisibles entre ellos mismos y entre 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles entre ellas mismas y entre 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+b no pueden descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible entre a+b y entre 1.
Ejercicio:
Factorizar: 6xy3-9nx2 y3+12nx3 y3-3 n2 x4 y3
Factor común 3x y3
6xy3-9nx2 y3+12nx3 y3-3 n2 x4 y3 = 3xy3(2-3nx+4nx2-n2x3)

Cuando dos polinomios dados tienen un mismo factor común debe sacarse este factor común que será un factor del m.c.d. buscado. Se halla el m.c.d.delas expresiones que quedan después de sacar el factor común y este m.c.d multiplicado por el factor común será el m.c.d. de las expresiones dadas. Así, en este caso, ambos polinomios tienen el factor común x. Sacando este factor en cada polinomio tienen el factor común x. Sacando este factor en cada polinomio, queda:
Ejercicio:
6 x4-3 x3+8 x2-x+2y3 x4-6 x3+10 x2-2x+3
6 x4- 3 x3+ 8 x2- x+23 x4-6 x3+10 x2-2x+3
-6 x4+12 x3-20 x2+ 4x-6 2
9 x4-12 x2+3 x-4
Ahora se divide el divisor ente el residuo, pero como 3 x3 no es divisible entre 9 hay que multiplicar el divisor por 3 y se tendrá:

9 x4-18x3+30x2-6x+9 9 x3-12 x2+3 x-4
9x4-12x3-3x2+4x+9 x
-6x3+ 27x2-2x+9
Como 6 no es divisible entre 9 x3, multiplicamos el residuo por -3 y se tendrá:
18x3-81x2-6x-27 9 x3-12 x2+3 x-4
-18x3+24x2-6x+8 2
-57x2 -19
Dividiendo el residuo entre -19 queda 3 x4+1
Ahora se divide el divisor entre elresiduo
9 x3-12x2+3x-4 3x2+1
-9x3 -3x 3x-4
-12x2 -4
12x2 +4

3 x2+1 es el m.c.d de las expresiones que quedaron después de sacar el factor común x. Entonces hay que multiplicar 3 x2+1 por x y el m.c.d de las expresiones dadas será:


FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIADE CUADRADOS
Se extrae la raíz cuadrada del minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Factorizar 1- a2
La raíz cuadrada de 1 es 1, la raíz cuadrada de a2 es a. Multiplico la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia (1-a) y se tendrá:
1- a2 =(1+a)(1-a)

Ejercicio:
Factorizar 49x2y6z10- a1249x2y6z10- a12=(7xy3 z5+ a6)(7xy3 z5- a6)

SUMA DE DOS CUBOS
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cubicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejercicio:
Factorizar x3+1
La raíz cubica de x3 es x; la raiz cubica de 1 es 1:
x3+1=(x+1) [x2-x(1)+12] = (x+1)( x2-x+1)
DIFERENCIA DEDOS CUBOS
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
2- La diferencia de sus raíces cubicas
3- El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejercicio:
Factorizar b3 -8
La raíz cuadrada de b3 es b; la de 8 es 2
b3-8=(b-2) [b2+2(b)+22] = (b-2)( b2+2b+4)


FACTORIZACION DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Todopolinomio con coeficientes R( los nuestros son Z) descompone en producto de polinomios de grado 2 y en caso de tener grado impar , en otro más de grado 1. Tales factores de grado 2, que por supuesto siguen teniendo coeficientes R , pueden resolverse en números complejos, es decir, puede que no tengan soluciones en R , pero seguro que sí que la tiene en números y además tales soluciones son conjugadas....