Algebra Funciones




Función: es toda relación entre elementos de dos conjuntos, iguales o no, tal que todos los elementos del conjunto de partida estén relacionados con uno y solo uno de los elementos del conjunto de llegada.

Simbólicamente:






La primera condición se denomina existencia y la segunda unicidad.Conjunto de partida o dominio: formado por todos los elementos de A que son primeras componentes de los pares que pertenecen a la función. En el caso particular de relaciones que son también funciones se debe cumplir que todo conjunto de partida debe coincidir con el dominio de la función, es decir no puede existir elementos del conjunto de partida que no tengan imagen. A los elementospertenecientes a este conjunto de los denomina “conjunto de valores de la variable independiente o campo de definición”.

Conjunto de llegada, recorrido o codominio de la función: formado por todos los elementos que son segunda componente de los pares ordenados que pertenecen a la función y es un subconjunto de B (conjunto de llegada).

Simbólicamente:

Representación gráfica: para efectuar larepresentación gráfica de funciones escalares en un plano, introducimos en él, un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, el dominio lo consideramos sobre el eje de las abscisas y el recorrido sobre el eje de las ordenadas.

Las coordenadas cartesianas de un punto p(x,y), es un par ordenado de números reales, siendo “x” la abscisa e “y” la ordenada, por lo tanto el conjunto de puntos de un planoes el conjunto producto R•R. para representar gráficamente un escalar usamos las herramientas siguientes:

1) Una tabla de valores: es decir obtenemos mediante la expresión analítica de la función los valores f(x), para distintos valores de x, obtenemos de esta manera puntos (x,y) del plano, para los cuales es y=f(x).


2) Las intersecciones con los ejes coordenados:


a) La intersección con eleje “y” si existe es única y se obtiene para x=0.

b) Las intersecciones con el eje “x” si existen, corresponden a los puntos donde se anula el valor de la función, los correspondientes puntos del dominio se denominan ceros de la función, o sea:
a es cero de f f(a)=0. Y se obtiene resolviendo la ecuación f(x)=0.




3) Además hay condiciones de simetría que facilitan el trazado del grafico deciertas funciones.
a) Funciones Pares:
Ellas asumen el mismo valor en el punto “x”, y en su opuesto
(-x), pues f(x)=f(-x).





Por ejemplo sean las funciones f(x)=x2 ; g(x)= |x| ; h(x)=cos x
En efecto:
x2 = (-x2); |x| = |-x| ; cos x = cos (-x).


El gráfico de una función par es simétrico respecto del eje “y”.


b) Funciones Impares: En cambio:



Es decir que para valores opuestos de xresultan valores opuestos de f. Por ejemplo: f(x) = x3 ; g(x)= sen x. El gráfico de una función impar es simétrico con respecto del origen.

























Igualdad de funciones:

Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:


Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticassi se cumple:



Tienen el mismo dominio: A = C


Tienen el mismo codominio: B = D


Asignan las mismas imágenes: para cada x
A = B, se tiene que f(x) = g(x)



Es decir:




Función nula:

Se llama función nula a aquella función definida por f(x) =0 para todo x R, y su representación gráfica sería la siguiente:







Función opuesta:

Dos funciones son opuestas si sumadas dan lugar a lafunción nula.
Sea f : A ⊆ R → R Llamaremos función opuesta de f a la función (-f) definida por:

Las funciones opuestas para los mismos valores de x tienen ordenadas opuestas, son por
tanto simétricas respecto del eje de abscisas. El gráfico de la función (−f) es el conjunto
simétrico con respecto al eje OX del gráfico de f.
Ejemplo:




Operaciones con funciones:

1) Suma: se llama suma de las...