Algebra ii guia

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
´ FACULTAD DE INGENIER´ / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA IA

ALGEBRA II Gu´ de Matrices y Determinantes ıa
Primer a˜ o Plan Com´ n de Ingenier´ n u ıa Segundo Semestre 2009

1. Hallar una matriz B que cumpla con 2B T − 3AT = DC donde: A= 2. Sean ￿ 2 −1 1 3 0 2 ￿  3 D= 4  −1 y  C= ￿ 2 −1 ￿

a) Determine la matriz A = (aij )3x3 b) Determine la matriz B = (bij )2x3 2  j si i < j 0 si i = j aij =  2 i si i > j

bij = 3i2 − 2j

c) Si D = (aij )4x4 y E = (bij )4x4 . Determine la matriz C = D + E 3. Encuentre los valores de p, q y r para que se cumpla la condici´n A = B, donde: o ￿ ￿ ￿ ￿ p − 3 2q − 5 7 q−3 A= y B= 3 r 3 3r − 8 4. Considere las siguientes matrices ￿ ￿ ￿ ￿ 1 3 6 A= B= −1 2 2 + 3i D= ￿ 2 −1 4 7 2 0 ￿ E= ￿ 5 3 ￿ ￿ ￿

C=

2i 1 + i −3 i ￿ 2−6 ￿

F =

Encuentre, si es posible, la matriz resultante de: i) AB ii) BC iii) B T CB iv) EF v) CD vi) C(AB) ix) DT (AC) x) (A + C)B xi) AB + CB xi) 3A − EF 5. Sean A = (aij )mxn , B = (bij )mxn y α ∈ R. Pruebe que: 1

vii) A3

viii) F F T

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a) tr(αA) = αtr(A) b) tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B) c) tr(αA ± B) = αtr(A) ± tr(B)

6. (Desaf´Encuentre dos matrices reales A y B de 2x2 ambas distintas de la matriz ıo) nula que cumplan con: A2 + B 2 = 0 7. Encuentre una expresi´n general para la matriz An sabiendo que: o ￿ ￿ r 1 A= donde r ∈ R 0 r 8. Si A = (aij )pxp es sim´trica. Pruebe que A2 es tambi´n sim´trica e e e 9. Sea A = (aij )8x5 y B = (bjk )5x5 donde aij = i + j − 8 y bjk = j − k + 6. Considerando la matriz producto C = AB = (cik). Encuentre: i) a45 ii)
5 ￿ j=1

a2j

iii) b31

iv)

5 ￿ j=2

bj4

v) c54

vi) tr(BB T )

10. Encuentre la matriz X que cumple con 2X + AT = A + B 2 , donde: ￿ ￿ ￿ ￿ 3 −5 2 1 A= B= 1 2 1 0 11. Compruebe que las identidades algebraicas (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 no se cumplen para las matrices ￿ ￿ 1 −1 A= 0 2 y (A + B)(A − B) = A2 − B 2 ￿ 1 0 1 2 ￿

B=

Modifica el segundomiembro de estas identidades para obtener f´rmulas v´lidas para o a todas las matrices cuadradas A y B 12. Encuentra la matriz inversa de A, si existe,  1 A= 1 1 donde:  1 1 0 1  1 0

13. Encuentra la matriz resultante de: A2 − 3A − I, donde I es la matriz identidad y ￿ ￿ 2 3 A= 1 1
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2

14. Resuelve la ecuaci´n matricial AXB = C, siendo: o ￿ ￿￿ ￿ 1 0 1 1 A= B= 0 1 1 2

C=

￿

1 1 0 0

￿

15. Resuelve la ecuaci´n matricial AX − B = X, siendo: o ￿ ￿ ￿ ￿ 1 2 7 −2 A= B= 3 −1 3 −1 16. Encuentra la traza de AB donde: B = Diag(1 3 5) y A = (aij ), con ai1 = 2i para i = 1, 2, 3 y aij = (−1)i+j i+j−1 para i = 1, 2, 3 y j = 2, 3

17. Encuentra el valor de p y s que cumplen con AT C = B T , donde: A= ￿ 1 3 4 5 ￿ B= ￿ 9 13 ￿ C= ￿ p s ￿18. Encuentra las matrices A y B que cumplen simult´neamente con: a ￿ ￿ ￿ ￿ −2 −5 11 −4 2A − B = 3A + 2B = 7 −4 7 8 19. Encuentra las matrices X e Y que cumplen simult´neamente con: a ￿ ￿ ￿ ￿ 2 0 1 −1 5X + 3Y = 3X + 2Y = −4 15 −2 9 20. Una empresa elabora tes productos A, B y C, los cuales deben procesarse por tres m´quinas I, II y III. Una unidad de A requiere para su elaboraci´n de 3, 1 y 8horas a o de la m´quina I, II y III respectivamente, mientras que una unidad de B requiere de a 2, 5 y 3 horas de la m´quina I, II y III respectivamente y por ultimo una unidad de C a ´ requiere de 2, 4 y 2 horas de la m´quina I, II y III respectivamente. La disponibilidad a de horas de la m´quina I, II y III son respectivamente de 230, 290 y 460 horas. a a) Represente matricialmente el problema b)Encuentre, de existir, la soluci´n del problema o 21. Encuentre el rango de las siguientes matrices: ￿ 1 3 0 0 ￿ ￿ 2 4 4 8 ￿  1 3 5 C =  0 −10 −17  4 2 3 3  ￿ ￿

A=

B=

D=

0 0

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4 5 7 3 6  9 4 9 −1 8   E=  5 −1 2 −4 2  1 −6 −5 −7 −4





22. Encuentre el rango de la matriz A para diferentes valores de t ∈ R,...