Algebra II

4. METODOS DE FACTORIZACION Y OPERACIONES CON LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS. El proceso de encontrar los factores, dado el producto, es llamado factorización, el cual se usa ampliamente en las operaciones algebraicas. La factorización en esta etapa se reduce usualmente a polinomios y factores cuyos términos tienen coeficientes racionales. Decimos que un polinomio está completamente factorizadocuando ninguno de sus factores puede ser factorizado. Cada factor, entonces, siendo expresable como 1 veces sí mismo o menos 1 veces su negativo, es llamado primo.
En que consiste el factor primo? Recordemos que un factor de una cantidad N, es cualquier expresión que pueda dividirse por N sin producir resto. Así, 2 y 3 son factores de 6, y los factores de 5x son 5 y x. Inversamente, cuando todos losfactores de N se multiplican entre sí, el producto es N. Esta definición se extiende incluyendo los polinomios.
Los factores de un polinomio son dos o más expresiones que, cuando se las multiplica entre sí dan como producto el polinomio. Por ejemplo, 3, x y x2 – 4 son factores de 3x3 – 12x, como se muestra en la siguiente ecuación:
(3)(x)(x2 - 4) = 3x3 - 12x
Los factores 3 y x son comunes aambos términos del polinomio 3x3 – 12x y se llaman FACTORES COMUNES.
El principio distributivo, constituye una parte importante del concepto de factoreo. Puede establecerse como sigue:
Si la suma de dos o más cantidades se multiplica por una tercera cantidad el producto se determina aplicando el multiplicador a cada una de las cantidades originales separadamente y sumando las expresionesresultantes. Este es el principio que nos permite separar factores comunes de los términos de un polinomio.
Como con los números, una expresión algebraica es un factor primo si no tiene otros factores excepto sí mismo y 1 . El factor x2 – 4 no es primo, ya que puede separarse en x – 2 y x + 2. Los factores x – 2 y x + 2 son ambos factores primos, puesto que no pueden separarse en otros factores.
4.1.TIPOS SIMPLES DE FACTORIZACION. Tipo 1. Factores comunes. Si cada término de un polinomio tiene un factor común, la ley distributiva nos permite expresar al polinomio como el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común.
Ejemplo 1. 4x3 y2 + 2x2 y3 - 6x2 y2 = 2x2 y2 (2x + y - 3)

Ejemplo 2. x (a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
SECUENCIA PARA USAR EL PROGRAMA DERIVE EN LAFACTORIZACION:
1. Abrir el programa “Derive”
2. En donde aparece el “Cursor” se escribe correctamente la expresión deseada. Damos enter ( al aparecer la expresión tal y como deseamos, quiere decir que está escrita correctamente) y
3. Para factorizar, seguir la secuencia:
Simplify, Factor, Rational, Factor.
Una vez factorizado o simplificado, se guarda el archivo con extensión mth, después éstearchivo se abre utilizando el programa WordPad, de aquí se copia a Word y tamtam.
Por ejemplo la expresión x*(a+b)-y*(a+b) el derive presenta el resultado:
;Fctr(#1)
(a+b)*(x-y)
De tal manera que la expresión original x*(a+b)-y*(a+b) se presenta en word:
x*(a+b)-y*(a+b)= (a+b)*(x-y)
Tipo 2. La diferencia de dos cuadrados. Leyendo la fórmula del producto especial (x + y) (x - y) = x2 – y2 dederecha a izquierda, obtenemos la fórmula de factorización:
x2 – y2 = (x + y)(x - y)
Ejemplo 1. 4 a2 - 9b2 = (2a)2 - (3b)2 = (2a + 3b)(2a - 3b)

Ejemplo 2. 4ax2 - 16ay2 = 4a(x2 - 4y2 ) = 4a(x + 2y)(x- 2y)
Nota: Como se ilustra aquí, el primer paso en cualquier factorización debe ser el retiro del factor común, cuando lo haya.
Ejemplo 3. (a + b)2 - (c - 2d)2 = (a + b + c - 2d)(a + b- c + 2d)
Tipo 3. Trinomio cuadrado perfecto. A partir del siguiente ejemplo, veamos el procedimiento para factorizar:
Ejemplo 1. 25x2 + 30x + 9 =
Debemos de tener cuidado que el trinomio sea ordenado en forma descendente, como en este caso lo es respecto a la potencia de x. A continuación revisamos que el primer y tercer términos tengan raíz cuadrada exacta, así del primer término es 5x y...