Algebra II

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

ALGEBRA II
MA-290

Tomás Ávila y Mario Salas

Antofagasta, Agosto 2012.

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Espacios vectoriales

1.1

Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto
V = ∅ sobre el que hay definidas dos operaciones :
1. Suma :

+ : V × V −→
(u, v) −→

V
u+v

verificando las siguientes propiedades :

(a)Conmutativa : u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V

(b) Asociativa : (u + v) + w = u + (v + w) ,

∀ u, v, w ∈ V

(c) Elemento neutro : Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u,
∀u ∈ V

(d) Elemento opuesto : Para todo u ∈ V existe −u ∈ V tal que
u+ (−u) = (−u) + u = 0
2. Producto por un escalar :
·

: K×V
(λ, u)

−→ V
−→ λ · u

verificando las siguientes propiedades :
(a) 1 · u = u, ∀ u ∈ V(b) λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀ λ, µ ∈ K, ∀ u ∈ V
(c) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u,

∀ λ, µ ∈ K, u ∈ V

(d) λ · (u + v) = λ · u + λ · v, ∀ λ ∈ K, ∀ u, v ∈ V
Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.
Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de
los números reales.
Nota : En lo sucesivo, siempre que no haya confusión se omitirá el punto
(·) en laoperación producto por escalar.
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T. Ávila y M. Salas

Ejemplos :
Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, los
siguientes :
1. El conjunto de n-uplas de números reales :
Rn = x = (x1 , x2 , ..., xn ) = (xi )1≤i≤n : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n
con las operaciones :
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn )
λx = (λx1 , λx2 , ..., λxn )
2. El conjunto de matrices dedimensión n × m :
Mn×m (R) = {A = [aij ] : aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}
con las operaciones : suma de matrices y producto por números reales.
3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable
x:
n

P (R) =

p (x) =
k=0

ak xk : n ∈ N, ak ∈ R

con las clásicas operaciones de suma y producto por números reales.
4. El conjunto de todos los polinomios, concoeficientes reales en la variable x, de grado menor o igual que n :
n

Pn (R) =

p (x) =
k=0

ak xk : ak ∈ R

con las mismas operaciones anteriores.
5. El conjunto de todas las funciones reales :
F (R) = {f : R −→ R}
con las operaciones : suma de funciones y producto por números reales.

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T. Ávila y M. Salas

6. El conjunto de todas las sucesiones de números reales :
S = {(xn)∞ :xn ∈ R, n ≥ 1}
n=0
con las operaciones :
reales.

suma de sucesiones y producto por números

7. Si Z2 = {0, 1} , entonces Zn es un espacio vectorial sobre el cuerpo
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Z2 , con las operaciones :

0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 y 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

1.2

Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces
1. 0 · u = 0
2. (−1) · u = −u
para todo u ∈ V .

1.3Subespacio vectorial

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vacío S ⊂ V que es espacio vectorial con las mismas operaciones
definidas sobre V . Se denota por : S V

1.4

Caracterización de subespacios vectoriales

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S = 0 entonces
(1) u + v ∈ S, ∀ u, v ∈ S
(2) λu ∈ S, ∀ λ ∈ K y ∀ u ∈ S

S es subespaciovectorial de V ⇐⇒
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T. Ávila y M. Salas

Demostración :
(=⇒) Evidente, pues S es espacio vectorial
(⇐=) (1) y (2) garantizan que las operaciones están bien definidas sobre
S, al ser éste un conjunto cerrado respecto de ellas. Además, por ser S
subconjunto de V , se verifican todas las propiedades de la suma y el producto
siempre que sea cierto que 0 ∈ S y que el opuesto de cualquierelemento
de S está en S. Ahora bien, para cualquier u ∈S,
0 = 0 · u ∈S

y −u = (−1) · u ∈ S

luego S es un subespacio vectorial de V .

1.5

Corolario

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V, S = ∅, entonces
S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ λu + µv ∈ S, ∀ λ, µ ∈ K, ∀ u, v ∈ S
Ejemplos
1. En todo espacio vectorial V , los conjuntos {0} y V son subespacios
vectoriales de V, llamados...