algebra inducción

CAPITULO VII.
INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y TÉCNICAS DE CONTEO
1.1

Introducción

El conjunto de los Números Naturales, es un sub conjunto del
conjunto de los Números Reales y por lo tanto las propiedades de
estructuras, restringidas a él, deberán ser cumplidas, es decir, es un
conjunto de números reales que cumplen ciertas propiedades de R, que son
obviamente propiedades muy especiales.1.1.1 Un conjunto I no vacío, se dice que es inductivo, sí todos los sub
conjuntos S de él, satisfacen las siguientes dos propiedades:
i.

1

ii.

a

S
S

(a + 1)

S

1.1.2 El conjunto de los Números Naturales N, será el conjunto formado
por la intersección de todos los sub conjunto S, del conjunto
inductivo I. En otras palabras, N = 1, 2, ... , n, ...
N, equivale a decir “n es unnúmero

1.1.3 Notación, la expresión n
natural”.

1.2

Sucesiones y Sumatorias

1.2.1 Una sucesión {a n}

n

N,

de números reales, es una función que

asocia al número natural n, el número real a n. Es decir, f a : N ---
R, es la función tal que f a (n) = a n, donde a n, es el único número
real asociado a n, mediante la función f a.
notación una sucesión

an

n

NPor comodidad de

la anotaremos por a n .

1.2.2 Ejemplos:
1/n = 1, ½, 1/3, ... , 1/n, ....

( 1) n
=
n

y

( 1) n
1 1
1, , , ...,
, ... ,
2 3
n

son sucesiones reales.

n

1.2.3 La expresión

ak

: a0

... a n , donde

a1

a

n

es una

k 0

sucesión real, recibe el nombre de sumatoria de los primeros n
términos de la sucesión a n .

1.2.4 Propiedadesde la Sumatoria
t

t

(a n

1.

bn )

an

n i

bn

n i

t

n i

t

kan

2.

t

k

n i

an

donde k es una constante real

n i

t

k

3.

(t

i

1)k , donde k es una constante real

n i

t

4.

an

Propiedad Telescópica:

an

ai

1

at

1

n i

t

5.

Para i

s

s

an

t , se tiene que
n i

t

an
n i

ann s 1

Observación:

En

forma

análoga

se

define

la

productoria

t

an

a i * a i 1 * ... * a t , la que igualmente a la sumatoria tiene sus

n i

propiedades.

Ejercicio: Desarrollar las propiedades de la sumatoria.

1.3

Principio de Inducción

La inducción, es una de las herramientas más poderosas del presente
siglo (XX), que entre otras cosas nospermitirá demostrar ciertas
propiedades de los números naturales. En primer lugar estudiaremos el
Principio de Inducción Completa y algunas aplicaciones y en segundo lugar
el Principio de Inducción a partir de un n mayor que 1.

Teorema 1. Sea p(n) una propiedad de la variable natural n. Sí
i.

p(1) es verdadero y la proposición

ii.

p(n) )

p(n + 1) es verdadera. Entonces se cumple quen

N

se cumple p(n).
Observación:

En la demostración de una proposición usando

inducción, es necesario probar ambos puntos i. y ii, y en particular para
probar ii. se hace necesario asumir que (

n

N

p(n) ) es verdadero.

Tal supuesto recibe el nombre de hipótesis auxiliar ó hipótesis inductiva.

Ejemplos:
1.

Probar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n =

Solución:n (n 1)
2

n (n 1)
2

Sea p(n) : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n =

Por lo tanto debemos verificar que se cumplen i. y ii. del Teorema 1.
En efecto: notar que p(1) : 1 =

1(1 1)
2

1 y por lo tanto p(1) es

verdadera.
Supongamos ahora que p(n): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n =

n (n 1)
es
2

verdadera para todo n. Por demostrar que p(n+1) es verdadera.
p(n+1): 1 + 2 + 3 + 4 + 5+ .... + n + (n + 1) debiera ser igual a
(n 1)(n
2

2)

. Ya que (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n) + (n+1) =

n (n 1)
2

+ (n+1), hemos hecho uso de la hipótesis de inducción y por lo tanto
haciendo la suma de

n (n 1)
+ (n+1), tenemos que:
2

n (n 1) 2(n 1)
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n) + (n+1) =
2
=

(n 1)(n
2

2)

Luego la proposición 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n =...