Algebra Libro

AXIOMAS DE NUMEROS REALES TEORIA DE EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES
1.1
AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES

M 3: M 4:

El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por ℜ con dos operaciones internas llamadas: 1) Adición (+) : Ψ (a,b) = a+b 2) Multiplicación (.) : Ψ (a,b) = a.b y una relación de orden “
47 5

Ejercicio Nº 1.- Dado el cocientenotable
(x 2 ) 3n + 21 - (y 4 )3n + 6 x n + 1 + y 2n - 3

k > 9,4 Dado que: k ≤ 15 ; entonces:

determine el número de términos que tiene su desarrollo.

K = 10, 11, 12, 13, 14, 15 ∴el número de término fraccionarios es 6.

FACTORIZACIÓN
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas específicas; su operación depende de la prácticaadquirida. En esencia es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico. Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dichos polinomios pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Hay tres campos de importancia: Racional : Q ; Real : R; Complejo : C Ejemplo: i) P (x) = 2 x2 – 7x + 3 , estádefinido en Q , R y C ii) Q (x) = 2 x5 + 3 x - 3 , está definido en R y C, pero no en Q.

Número de factores primos.- Es la cantidad de factores no repetidos que tiene el polinomio, dependiendo sobre que campo numérico se factorice. Ejemplo a) P(x) = x4 – 36 ≡ (x2 + 6) (x2 –6) ⇒ P (x) tiene 2 factores primos en Q b) P(x)=x4 – 36 ≡ (x2 + 6) (x + 6 ) (x - 6 )
⇒ P (x) tiene 3 factores primos en Rc) P(x)=x4 – 36 ≡ (x + i 6 ) ((x - i 6 ) (x+ 6 ) (x - 6 )

⇒ P (x) tiene 4 factores primos en C

FACTORIZACIÓN EN Q

I.

Factor ó Divisor.- Es un polinomio de grado distinto de cero que divide exactamente a otro. Factor Primo.- Es un polinomio sobre un campo numérico el cual no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico. Ejemplo #1 .P (x) = x2 – 25No es primo en Q, ni en R; ni en C, ya que se puede expresar como P (x) = (x + 5) (x – 5). Ejemplo # 2.- Z(x) = x2 – 7 Es primo en Q, pero no en R ni en C, dado que Z (x) = (x + 7 ) (x - 7 ) Ejemplo # 3 .- R(x) = x2 + 16 Es primo en Q y en R pero no es primo en C, ya que R(x) = (x + 4i) (x – 4 i)

w

definición solo en C .... (i =

−1)

w w

iii)

R (x) = x3 – i x + 2 i – 3; estaMétodo del Factor Común.- El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente; puede ser monómico o polinómico. Ejemplo # 1: Factorizar: f = 2x4 y3 + 2x4 z2 + 2x4 Solución: El factor común es: 2x4; de donde f = 2x4 (y3 + z2 + 1) Rpta. Ejemplo # 2: Factorizar: f = (a2 + b) x + (a2 + b) y + (a2 + b) z Solución: El factor común en estecaso es: (a2 + b); de donde f = (a2 + b) (x + y + z)

.M

at

em

at

ic

a1

.c

om

Rpta.

Factorización por agrupación de términos Consiste en agrupar convenientemente de forma que se tenga factor comunes polinómicos. Ejemplo # 1: Factorizar f = (a x + by) 2 + (ay – bx) 2

II.

Solución: Desarrollando por productos notables. a2 x2 + 2ab x y + b2 y2 + a2 y2 – f=

- 2 abxy + b2 x2 Simplificando: f = a2 x2 + b2 y2 + a2 y2 + b2 x2 agrupando el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, se tiene: f = (a2 x2 + a2 y2) + (b2 y2 + b2 x2) f = a2 (x2 + y2) + b2 (x2 + y2)

x4
suma x Dif

9y4 3y2

X2

De donde: f = (x4 + 9y4) (x2 + 3 y2) (x2 – 3y2)

∴f = (a2 + b2) (x2 + y2)

Rpta.

Ejemplo # 2.- Factorizar
f = (a + b)7 + c3 (a + b)4 – c4 (a + b)3 –c7

III. Método de las Identidades
A. DIFERENCIA DE CUADRADOS Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forman un producto de la suma de las raíces, multiplicadas por la diferencia de las mismas. En general. 2m f = a – b2n = (am + bn) (am – bn)
am bn

Solución: Haciendo: (a + b) = x; se tendría: f = x7 + c3 x4 – c4 x3 – c7
factorizando de 2 en 2 f = x4 (x3...