Algebra Lieal Vectores

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTEPEC

UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES

CATEDRÁTICO: ING. ALFONSO SANCHEZ SOLIS

ALUMNO: JOSE IGNACIO CASTRO DELGADO

CARRERA: INGENIERIA ELECTROMECÁNICA

CÁTEDRA: ALGEBRA LINEAL

4.1 Definición de espacio vectorial y sus propiedades.

Espacio vectorial

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dosoperaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

i. Si x V y Y V, entonces x+y V
ii. Para todo x, y y z en V, (x+y)+z = x + (y +z)(ley asociativa de la suma de vectores)

iii. Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x+0 = 0+x=x
(El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
iv. Si x V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)

v. Si x y y están en V, entonces x+y= y+x
(Ley conmutativa de la suma de vectores)

vi. Si x V y a es unescalar, entonces a x V
(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

vii. Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x +y) = x +y (primera ley distributiva)

viii. Si x V y y son escalares, entonces ( +)x = x+x (Segunda ley distributiva)

ix. Si x V y y son escalares, entonces y (x) = (y)x (ley asociativa de la multiplicación porescalares)

x. Para cada vector x V, 1x= x

X1
X2
.
.
XN

EJEMPLO

El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,..., n.

Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. Según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo

-x1
-x2
.
.
.
-xn
0
0
.
.
.
0

0= y –x=, se ve que los axiomas ii) ax) se obtienen de la

Definición de matrices.

4.2 Definición de un subespacio vectorial y sus propiedades
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple paraidentificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:

1. 0єW
2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
3. W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:

1. 0єW.
2. au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.

Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UÇW es también subespacio de V. claramente, 0ÎU y 0ÎW, porque U y W son subespacios, de donde 0ÎUÇW. Supongamos ahora que u, vÎUÇW. Entonces u, vÎU y u, vÎE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuÎU yu+v, kuÎW para cualquier escalar k. así u+v, kuÎUÇW y por consiguiente UÇW es un subespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y portanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos...