algebra linael

Universidad Latina de Costa Rica
´
Algebra Lineal
Prof: Arturo Vega V´squez
a
Determinante de una matriz cuadrada
Determinantes
A cada matriz cuadrada A se le asocia un numero real llamadodeterminante de la matriz, por
lo que el determinante puede ser considerado como una funcion cuyo dominio es conjunto de las
matrices cuadradas y cuyo codominio es el conjunto de los numeros reales.
f: conjunto de los numeros reales −→ R
a11 a12
a21 a22
el determinante de A se denota | A | o det A y se define de la manera siguiente:
Definici´n 1 Si A es una matriz cuadrada de orden 2, A =
o| A |=

a11 a12
= a11 · a22 · −a12 · a21
a21 a22

Ejemplo 1 Calcule los siguientes determinantes
2 −7
3
5
7 2
−21 6
Determinante de orden n, para n ≥ 2
Definici´n 2 (Menor ij)
o
Sea Auna matriz cuadrada de orden n, con n ≥ 2. El menor ij de A se denota Mij , y se define
como el determinante de matriz que se obtiene a partir de A, eliminando fila i y la columna j.


3
5
7
01 . Determine M12 y M11
Ejemplo 2 Si A =  −2
4 −6 −1
Definici´n 3 (Cofactor ij) Sea A una matriz cuadrada de orden n, con n ≥ 2. El cofactor ij de
o
A se denota Aij , y se define de la manerasiguiente Aij = (−1)i+j · Mij .


3
5
7
0
1 . Determine A12 y A11
Ejemplo 3 Si A =  −2
4 −6 −1
Definici´n 4 Sea A una matriz cuadrada de orden n, con n ≥ 2. El determinante de A se denota
o| A | y se define de la manera siguiente.
n

aij Aij
j=1

Ejercicio
Verifique que
2
1
3
1
2 −1 = −10
2 −1
3
Metodo de Sarrus

Este metodo nos sirve para calcular determinantes detama˜o 3 × 3
n
a11 a12 a12
Sea a21 a22 a21 . Se escribe A y se le adjuntan sus dos primeras columnas.
a31 a32 a33
3 5 2
4 2 3
Calcule
−1 2 4
Algunas propiedades de los determinantes
1. Si A esuna matriz cuadrada de orden n entonces | A |=| At |.
2. Si A es una matriz cuadrada de orden n, si A es triangular entonces | A | es igual al producto
de los elementos de su diagonal principal....