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Surgen subespacios en relación con alguna matriz A, los cuales proporcionan información útil acerca de la ecuación Ax = b.

Un subespacio de Rn es cualquier conjunto H en Rn que tiene trespropiedades:
a. El vector cero está en H.
b. Para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
c. Para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
Dicho con palabras, un subespacio escerrado bajo la suma y la multiplicación Escalar. Como se verá en los siguientes ejemplos, casi todos los conjuntos de vectores Analizados en el capítulo 1 son subespacios.







Espacio columna yespacio nulo de una matriz

Los subespacios de Rn suelen aparecer en las aplicaciones y la teoría en una de dos formas. En ambos casos, es posible relacionar el subespacio con una matriz.
Es elespacio columna de una matriz A es el conjunto Col A de todas las combinaciones lineales de las columnas de A.

T E O R E M A 13.- Las columnas pivote de una matriz A forman una base para el espaciocolumna de A.

Advertencia: Tenga cuidado de utilizar las columnas pivote de la misma A para la
base de Col A. Las columnas de una forma escalonada B a menudo no están en el espacio
columna de A.(Como puede observarse en los ejemplos 7 y 8, todas las columnas de B
tienen ceros en sus últimas entradas y no pueden generar las columnas de A.)


DIMENSIÓN Y RANGO

Sistemas de coordenadasLa razón principal para seleccionar la base de un subespacio H, en lugar de simplemente
un conjunto generador, es que cada vector de H se puede escribir sólo de una manera
como combinación lineal delos vectores de la base. Para ver por qué, suponga que B =
{b1, . . . , bp} es una base de H, y que un vector x en H puede generarse de dos maneras,
por ejemplo:



Suponga que el conjunto B ={b1,. . ., bp] es la base de un subespacio H. Para cada x en H, las coordenadas de x relativas a la base B son los pesos c1, . . . , cp tales que x = c1b1 + ∙ ∙ ∙ + cpbp, y el vector en Rp



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