Algebra Lineal 2

Algebra lineal
Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuaciones
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se
pretende hallar.  Una colección finita de ecuaciones lineales
se llama sistema de ecuaciones lineales.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más
incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas
soluciones. Se llama solución del sistema a una solución
común atodas las ecuaciones que lo forman.
Los sistemas de ecuaciones lineales son especialmente
interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en
diversas ciencias.

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma
ax+by=c, ax+by+cz=d,…, es decir, si las incógnitas aparecen
sin exponentes (elevadas a 1).

Resolver una ecuación lineal significa encontrar todas sus
soluciones; elconjunto de soluciones se llama conjunto
solución. Una colección finita de ecuaciones lineales se
llama sistema de ecuaciones lineales.

El sistema lineal

Se puede expresar como una ecuación matricial de la
forma Ax = b donde:

Ejemplo:

Tipos de Soluciones
En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los
números reales. Dependiendo del posible número de tales
soluciones reales que tengaun sistema, éstos se pueden
clasificar en:
Incompatibles (no tienen solución)
Compatibles (tienen solución)
- Determinados (solución única)
- Indeterminados (infinitas soluciones)
Existen varios métodos elementales para resolver sistemas
de ecuaciones: regla de Cramer, el método de Gauss y el
método de Gauss-Jordan.

Regla de Cramer
Método útil para resolver un sistema lineal de n ecuacionescon n variables que tengan una solución única.
En general una ecuación lineal tiene la forma:

La regla Cramer es aplicada en sistemas que tengan como
condición que el número de ecuaciones equivalga al número
de incógnitas y que el determinante de la matriz de los
coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se
cumplen en un sistema, entonces el sistema lineal tiene una
solución única.Fórmulas
La solución única del sistema lineal de ecuaciones está dada
por:

Ejemplo:
Resolver por la regla de Cramer
Det. A

Ejercicio:
Resuelva los siguientes sistemas utilizando la regla de
Cramer.

2x1+3x2=2

2x - y = 8

x1+x2=3

3x + y = 7

 2 x  y  z 0

 4 x  3 y  2 z 2
 2 x  y  3z 0


 x  y  z 2

 x  y  z 3
  x  y  z 4


Tarea
Resolver los siguientessistemas de ecuaciones por la
regla de Cramer.

Método de Gauss
En este método se utiliza la representación matricial del
sistema de ecuaciones, el objetivo es transformar el sistema
matricial a una forma escalonada, es decir la diagonal principal
estará compuesta por unos. Por debajo de la diagonal
principal deberán ser ceros (matriz triangular superior).
Se deben cumplir las siguientes reglas básicasde resolución:
1. Un renglón se puede multiplicar por cualquier número. Es
decir, que si tenemos x + y = 2, entonces 2x + 2y = 4.
2. Se puede sumar o restar un renglón a cualquier otra. En
otras palabras, si x + y = 4 y 2x + 3y = 1, entonces 3x + 4y
= 5.

Ejemplo:
Resolver por método de Gauss

Primer paso, ponerla en forma
matricial:
En los siguientes pasos, multiplicar por un número una fila ysumarla a otra o restar filas de tal manera que se obtenga
una forma escalonada.

Ejercicio:
Resuelva los siguientes sistemas utilizando el método de
Gauss:

Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan es una variante de Gauss. Cuando
se elimina una incógnita en una ecuación, Gauss-Jordan
elimina esa incógnita en el resto de las ecuaciones, tomando
como base para la eliminación a laecuación pivote. También
todos los renglones se normalizan cuando se toman como
ecuación pivote. El resultado final de este tipo de eliminación
genera una matriz identidad en vez de una triangular como lo
hace Gauss, por lo que no usa la sustitución hacia atrás.

Ejemplo:
Resolver por método
de Gauss-Jordan

Primer paso, anotarla en forma
matricial:

F1* 1/2 =

F1* (-3) + F2 =
F1* (-5) + F3 =

F2*...