Algebra Lineal Controlabilidad

Controlabilidad, Observabilidad y Detactabilidad

Controlabilidad: Definición básica
Considere el siguiente sistema lineal e invariante en el tiempo

• Controlabilidad: diremos que el par (A,B) es controlable en intervalo [0,T], si para cualquier estado inicial x0 y estado terminal xT, existe una entrada de control u(t) (continua a tramos) feasible tal que la solución del sistema dinámicosatisface

Controlabilidad
Criterio de controlabilidad: El par (A,B) es controlable si y solo si alguna de las siguientes propiedades se cumple:

1. Criterio 1: el grammiano de controlabilidad

es positivo definido para cualquier t en [0,inf]. 2. Criterio 2: La matriz de controlabilidad tiene rango completo, o equivalentemente

donde Im B es la imagen (rango) de B:Rm ->Rn

esta definidacomo

Controlabilidad
3. Criterio 3: La matriz de Hautus tiene rango completo por renglón para cualquier 4. Criterio 4: Para cualquier autovalor izquierdo l y autovector x correspondiente de la matriz A (es decir, x*A = lx* ), se cumple que

En otras palabras, todos los modos de A son controlables por B. 5. Criterio 5: Los autovalores de la matriz

pueden ser asignados arbitrariamenteseleccionando adecuadamente K.

Controlabilidad
Prueba. Criterio 1: Necesidad. Suponga que el par (A,B) es controlable, pero para algún el gramiano de contrabilidad Gc(T) es singular, esto es, existe un vector xneq0 tal que

de modo que

para todo ,

Seleccione el instante como t = T y x(T) = xT = 0 entonces también debe cumplirse que

Controlabilidad
Prueba. Criterio 1: Necesidad.Premultiplicando la ultima ecuación por xT se obtiene

Seleccionando las condiciones iniciales como x0=ex , se obtiene que , o que x=0 lo que contradice la suposición de que xneq0 Suficiencia. Suponga que Gc(t)>0 Gc(T)>0 Defina para todo . Entonces

y sustituyendo en el sistema dinámico, obtenga

Controlabilidad
Prueba. Criterio 1: Suficiencia. Que da como resultado

de modo que el par (A,B)es controlable.

Controlabilidad
Prueba. Criterio 2: Necesidad. Suponga que Gc(t)>0 para cualquier ten[0,T] , pero la matriz C de controlabilidad no tiene rango completo, esto es existe un vector venRn distinto de cero tal que

Pero, de acuerdo al teorema de Cayley-Hamilton, si

entonces se debe cumplir que

Por lo tanto,

Controlabilidad
Prueba. Criterio 2: Necesidad. Y de la mismaforma se debe cumplir

y así consecutivamente. Así que Por otro lado, dado que

.

y en vista de la última conclusión, para todo t>0

se tiene

lo que implica para todo t10 se

*Nota:

Este criterio es una consecuencia del criterio de controlabilidad.

Observabilidad: definición básica
Para el sistema LTI suministrado por un modelo de salida

donde y(t)enRm es considerado comoun vector de salida y CenRxR como una matriz de salida. Definición. El sistema LTI anterior o el par (C,A) se dice que es observable si, para cualquier tiempo t1, el estado inicial x(0) = x0 puede ser determinado mediante la historia de la entrada u(t) y de la salida y(t) dentro del intervalo [0,t1]

Observabilidad
Criterio de observabilidad. El par (C,A) es observable si y solo si alguno delos siguientes criterios se cumple: 1. Criterio 1. El grammiano de observabilidad

es positivo definido para cualquier t 2. Criterio 2: La matriz de observabilidad tiene rango completo por columna, o en otras palabras,

donde el Kernel (o espacio nulo) se define como

Observabilidad
3. Criterio 3. La matriz de Hautus tiene rango completo por columna para toda 4. Criterio 4. Para l y ysiendo cualquier autovalor y su correspondiente autovector (Ay=ly ) entonces se cumple que

pueden ser 5. Criterio 5. Los autovalores de la matriz A-LC asignados arbitrariamente por una selección adecuada de

6. Criterio 6. El par (AT,CT) es controlable.

Observabilidad
Prueba. Criterio 1: Necesidad. Suponga que el par (C,A) es observable, pero para algún t1, el gramiano de observabilidad...