Algebra lineal - Espacio verctorial

ESPACIO VECTORIAL
Motivación y Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elementoneutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:Definición formal
Más formalmente la dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notarque existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo tiene dimensión .
La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales siguientes:
• El máximo número de vectores linealmente independientes de dicho espacio.
• El mínimo número de vectores que forman un conjunto generadorpara todo el espacio.


Notas y definición alternativa
Siguiendo con la notación anterior, si es el espacio vectorial asociado a , se dice que es variedad lineal si existen un subespacio vectorial de y un de manera que .


Propiedades del espacio vectorial


Unicidad del vector neutro de la propiedad 3
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectoresneutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo
supongamos que elinverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro

Producto del escalar 0 por un vector



Ecuaciones lineales

o equivalentemente simplificado como
Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que es siempre una solución, esdecir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, se puede ver en sus dos operaciones:
Si
Si .
También que las ecuaciones en sí, filas de la matriz notadas como una matriz , es decir, , son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dos operaciones:
Si
Si .

Teoría de números algebraicos
La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números es unarama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raícesde los polinomios con coeficientes racionales.
Un campo de números algebraico es una extensión finita (algebraica) del campo de los números racionales. El anillo de enteros de un campo de números algebraico es la cerrazón de los enteros en dicho campo, es decir, elsubconjunto del campo que consiste de los elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteros.
Se puede ver, y tratar, a un campo de números algebraico como un análogo de los racionales, y a su anillo de enteros como un análogo de los enteros. Ahora bien, la analogía no es perfecta: algunas de las propiedades familiares de los racionales y los enteros no se conservan -- por ejemplo, la...